Inégalité de Paley–Zygmund

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En mathématiques, l’inégalité de Paley-Zygmund minore la probabilité qu'une variable aléatoire positive soit « petite », au sens de sa valeur moyenne attendue et de sa variance. Elle fut établie par Raymond Paley et Antoni Zygmund.

Sommaire

1 Inégalité
- 1.1 Énoncé
- 1.2 Démonstration
2 Inégalités liées
3 Références

[modifier] Inégalité

[modifier] Énoncé

Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors

$\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace \geq (1-\theta)^2\, \frac{\operatorname{E}(Z)^2}{\operatorname{E}(Z^2)}.$

[modifier] Démonstration

Tout d'abord, on a :

$\operatorname{E} Z = \operatorname{E} \lbrace Z \, \mathbf{1}_{Z < \theta \operatorname{E} Z} \rbrace + \operatorname{E} \lbrace Z \, \mathbf{1}_{Z \geq \theta \operatorname{E} Z} \rbrace~.$

Le premier terme de la somme est égal, au plus, à $\theta \operatorname{E}(Z)$ . Le second terme est au plus égal à :

$\lbrace \operatorname{E} Z^2 \rbrace^{1/2} \lbrace \operatorname{E} \mathbf{1}_{Z \geq \theta \operatorname{E} Z} \rbrace^{1/2} = \Big( \operatorname{E} Z^2 \Big)^{1/2} \Big(\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace\Big)^{1/2}$

d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.

[modifier] Inégalités liées

On peut réécrire la partie gauche de l'inégalité de Paley-Zygmund sous la forme :

$\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace \geq \frac{(1-\theta)^2 \, operatorname{E}(Z)^2}{\operatorname{E}(Z)^2 + \operatorname{Var} Z}.$

L'inégalité de Chebyshev donne une meilleure minoration :

$\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace \geq \frac{(1-\theta)^2 \, \operatorname{E}(Z)^2}{(1-\theta)^2 \, \operatorname{E}(Z)^2+ \operatorname{Var} Z}.$

[modifier] Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article en anglais : « Paley-Zygmund inequality. »
R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272.