Indépendance algébrique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.
[modifier] Définition
Soit L un corps, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. S est algébriquement indépendant sur K si les éléments de S ne sont racines d'aucun polynôme non trivial à coefficients dans L.
En d'autres termes, pour tout suite finie 
d'éléments distincts de S et tout polynôme non-trivial 
à coefficients dans K :
.
En particulier, un ensemble à un seul élément {α} est algébriquement indépendant sur K si et seulement si α est transcendant sur K.
[modifier] Exemples
Le sous-ensemble 
du corps des nombres réels 
n'est pas algébriquement indépendant du corps des nombres rationnels 
puisque le polynôme 
n'est pas trivial et à coefficients dans et 
.
Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur .
On ne sait pas si l'ensemble {π,e} est algébriquement indépendant sur . Yu Nesterenko a prouvé en 1996 que {π,eπ,Γ(1 / 4)} l'est.
