Racine (mathématiques)

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En mathématiques, une racine d'une fonction ƒ définie sur D est un point x de D où ƒ s'annule :

ƒ(x)=0.

Par exemple, la fonction réelle de la variable réelle

$f : x \mapsto \cos(x)$

admet pour racines tous les réels de la forme

$\frac\pi 2 + k\pi \quad(k \in \mathbf Z)$ .

[modifier] Racine d'un nombre

[modifier] Racine d'un réel

La racine carrée d'un réel r positif (r ≥ 0) est l'unique racine positive du polynôme réel

X² − r.

Elle est notée $\sqrt{r}$ ou $r^{\frac 1 2}$ .

Exemples

La racine carrée de deux = $\sqrt 2=1,414\,213\,56\ldots$
$\sqrt 3=1,732\,050\,81\ldots$

La racine cubique d'un réel r quelconque est l'unique racine du polynôme réel

X³ − r.

Elle est notée $\sqrt[3]{r}$ ou $r^{\frac 1 3}$ .

La racine énième (ou racine n-ième) d'un réel r positif (r > 0, n > 0) est l'unique racine positive du polynôme réel

X ⁿ − r.

Elle est notée $\sqrt[n]{r}$ ou $r^{\frac 1 n}$ . Elle peut se calculer avec les fonctions exponentielle et logarithme :

$r^{1/n} = \exp \left ( \frac{1}{n} \cdot \ln r\right )$ .

Lorsque n est impair, la définition peut s'étendre à tout nombre réel r mais l'écriture à l'aide de l'exponentielle est alors impossible. Enfin la racine énième de 0 est toujours 0, pour tout entier n > 0.

[modifier] Racines d'un complexe

Les racines n-ièmes d'un complexe c non nul sont les racines du polynôme Xⁿ − c. Il en existe exactement n.

[modifier] Racines de l'unité

Voir l’article Racine de l'unité.

Voir l’article Polynôme cyclotomique.

L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, noté $\mathcal U_n$ , est formé des n racines du polynôme complexe

X ⁿ − 1.

Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1. Il est formé des éléments $\{ 1, e^{i\frac {2\pi}{n}}, e^{i\frac {4\pi}{n}}, \ldots, e^{i\frac {(2n-2)\pi}{n}} \}$

On appelle racine n-ième primitive de l'unité tout générateur du groupe cyclique $\mathcal U_n$ . Ces racines primitives sont les éléments $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ où k est premier avec n. Leur nombre est égal à $\varphi(n)\,$ où $\varphi\,$ désigne l'indicatrice d'Euler.

[modifier] Considérations historiques

Une part importante des mathématiques s'est développée autour de la recherche de racines de fonctions, et plus particulièrement des polynômes. L'étude des racines de polynômes de degré 3 a mené à la découverte des nombres complexes. De nombreux polynômes réels n'admettent pas de racine réelle, toutefois, le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme de degré n (supérieur ou égal à 1) admet n racines complexes, comptées avec leurs ordres de multiplicité.

Un des plus importants problèmes irrésolus à ce jour en mathématiques concerne la localisation des racines de la fonction Zeta de Riemann.