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Une intégrale de Stieltjes constitue une généralisation d'une intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a,b], ainsi qu'une subdivision 
de cet intervalle [a,b]. Si la somme de Riemann ![\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i )[g(x_{i+1})-g(x_i)]](../../../math/3/8/4/384001c2819065d80441ee1a98676dbb.png)
, avec ![\xi_i \in [x_i,x_{i+1}]](../../../math/e/c/9/ec95e9f1da099ea4a9550618e634bdaa.png)
, tend vers un nombre fixe S lorsque 
, alors S est appelé l'« intégrale de Stieltjes » (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction f par rapport à g, et on la dénote par 
ou, simplement, par 
.
Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas. Cependant, si f est continue et g' = dg/dx possède une intégrale de Riemann sur l'intervalle considéré, alors
.
- "Recherches sur les fractions continues", Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 8, No. 4, J1–J122, 1894.
- (en) H. Jeffreys & B.S. Jeffreys (1988). Integration: Riemann, Stieltjes, §1.10 Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, pp. 26–36. ISBN 0-52166402-0.
- (en) H. Kestelman (1960). "Riemann-Stieltjes Integration", Modern Theories of Integration, Dover Publications, New York. Chap. 11, pp. 247–269.
