Invariance de Lorentz

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Dans le cadre de la relativité restreinte (qui reste valable aussi en relativité générale), une quantité est dite invariante de Lorentz, on dit aussi scalaire de Lorentz, lorsqu'elle n'est pas modifiée sous l'application d'une transformation de Lorentz. Cela revient à dire que sa valeur est la même dans tous les référentiels galiléens.

Le premier exemple de quantité invariante de Lorentz est la métrique de Minkowski^[1] $\eta_{\mu\nu}\,$ . Si on considère une transformation de Lorentz^[2] $\Lambda^\mu_\nu\,$ alors on a par définition des transformations de Lorentz

$\Lambda^t\eta\Lambda=\eta \,$

si on utilise la notation matricielle

$\Lambda^{\mu'}_\mu\Lambda^{\nu'}_\nu\eta_{\mu' \nu'}=\eta_{\mu\nu} \,$

si on utilise la notation d'indices plus commune en physique. On a adopté pour cette dernière la convention de sommation répétée d'Einstein qui somme implicitement selon les 4 directions tout indice apparaissant à la fois en haut et en bas d'une expression.

A partir de cette quantité invariante fondamentale on peut en construire beaucoup d'autres. Par exemple si on considère le quadrivecteur d'impulsion, appelé parfois aussi quadriimpulsion^[3],

$P^{\mu}= \begin{pmatrix} E\\ \vec{p}c \end{pmatrix} \,$

constitué de l'énergie $E\,$ et de l'impulsion $\vec{p}\,$ . Il n'est pas invariant de Lorentz car il se transforme de la façon suivante

$P^\mu\rightarrow\Lambda^\mu_\nu P^\nu \,$

Mais par contre on peut construire la quantité quadratique suivante par contraction de ce quadrivecteur en utilisant la métrique

$P^2\equiv P^{\mu}P_{\mu}\equiv\eta_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}=-E^2+\vec{p}^2c^2=-m^2c^4 \,$

qui définit la masse^[4] en relativité restreinte. Notons qu'on a introduit la notation $P_\mu\,$ avec un indice abaissé par application de la métrique. Cette notation n'est pas anodine car elle permet de déterminer très simplement si une quantité est ou non scalaire de Lorentz. Pour être le cas il faut et il suffit que tout indice en bas soit contracté avec un indice en haut.

Le fait qu'une quantité soit invariante permet d'obtenir des résultats intéressants en choisissant des référentiels particuliers. Par exemple, si on considère le cas d'une particule de masse non-nulle $m\,$ alors on peut considérer le référentiel de repos dans lequel on a $\vec{p}=0\,$ . On obtient alors la célèbre identité.

$E=mc^2 \,$

Dans le cas d'une particule de masse nulle par contre, comme c'est le cas pour le photon par exemple, il n'est pas possible de trouver un tel référentiel mais on a tout de même la relation

$-E^2+\vec{p}^2c^2=0 \,$

valable dans tous les référentiels galiléens.

[modifier] Notes

↑ on utilise par la suite ici la signature $(-,+,+,+)\,$ pour la métrique
↑ C'est une matrice $4\times 4\,$
↑ Lorsqu'on se place à priori dans le cadre de la mécanique relativiste il est d'usage d'oublier le préfixe quadri et de parler plus simplement de vecteur ou dimpulsion.
↑ Cette quantité est [mathématiquement le casimir de l'algèbre de Poincaré