Itération de Halley
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En analyse numérique, l'itération de Halley ou méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2).
L'algorithme est itératif et de convergence cubique.
Il doit son nom à son inventeur, l'astronome Edmund Halley.
Sommaire |
[modifier] Énoncé
Soit f une fonction C2 et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer
- xn + 1 = xn − 2f(xn)f′(xn) / [2f′(xn)² − f(xn)f′′(xn)]
à partir d'une valeur x0 proche de a.
Au voisinage de a, la convergence vérifie :
- |xn + 1 − a| < K|xn − a|³, K > 0
elle est donc (au pire) cubique.
[modifier] Déduction
La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction g = f/√f′ :
- xn + 1 = xn − g(xn)/g′(xn),
avec
- g′ = (2f′² − ff′′)/(2f′√f′)
d'où le résultat. Il est à noter que, si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Liens internes
[modifier] Liens externes
- (en) Halley's Method sur le site Math World
- (en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001
