Utilisateur:Jean-Pierre Petit

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[modifier] Introduction

En 1917 Albert Einstein propose de décrire l'univers à l'aide d'une équation de champ, tensorielle. Celle-ci contient deux constantes, qui n'ont strictement rien à voir l'une avec l'autre. La première est la "constante d'Einstein", figurée dans le second membre par la lettre C majuscule ou (const) dans l'écriture ci-dessous. La seconde est la constante cosmologique, figurée dans le premier membre par la lettre grecque lamba majuscule. On se propose dans ce qui va suivre de déterminer la valeur de la constante d'Einstein. Pour ce faire on partira d'une équation de champ à constante cosmologique nulle et d'une hypothèse de stationnarité. Puis on passera à l'approximation newtonienne en introduisant les deux hypothèses :

- Champ faible

- Vitesses faibles devant celle de la lumière

On verra alors apparaître :

- La loi de Newton

- Et son corollaire : l'équation de Poisson

En quelque sorte, dans cette approximation, l'équation de Poisson apparaît comme la forme approchée de l'équation de champ ( ou l'équation de champ se présente comme une généralisation de l'équation de Poisson ). L'identification permet d'obtenir l'expression de la constante d'Einstein en fonction des grandeur G ( constante de la gravitation ) et c ( citesse de la lumière )

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[modifier] L’équation de champ dans un espace non-vide

Nous devons obtenir un tenseur susceptible de décrire la géométrie de l’espace en présence d’un champ d’énergie. Cette équation a été proposée par Einstein en 1917 et s’écrit :

Lambda est ce qu’on appelle la constante cosmologique. Nous allons nous placer dans une situation où celle-ci est prise égale à zéro. L’équation de champ devient alors :

où C est une constante. Nous Allons déterminer sa valeur dans la section suivante.

Au prix d’une certaine manipulation nous allons écrire cette équation sous une autre forme. Contractons les indices dans l'équation ci-dessus)

Ainsi :

En utilisant ce résultat nous pouvons écrire l’équation de champ sous la forme :

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[modifier] La limite classique des équations de la gravitation

Nous souhaitons que cette équation de champ d'Einstein soit une généralisation de l’équation de Poisson :

Rappelons un peu les notations utilisées dans cet ouvrage.

Un point-événement est décrit par les quatre coordonnées :

La première est la coordonnée de temps et les trois autres les coordonnées d’espace. L’écriture

et :

Ainsi :

Nous allons considérer un champ de matière où celle-ci a une densité r faible et se déplace à une vitesse également faible. Le tenseur-matière relativiste est :

Si on néglige les termes de l’ordre de ( v/c )2 et ro ( v/c) il prend la forme :

On va ensuite supposer que l’écoulement soit stationnaire et donc fonder notre géométrie sur une métrique indépendante du temps. Utilisant les coordonnées de la relativité Restreinte ct , x , y , z qu’on écrira ici :

Appliquant une méthode perturbationnelle, nous allons considérer une métrique qui se présente sous la forme d’une somme de deux termes. Le premier est la métrique de Lorentz ,

qui est la métrique de l’espace de Minkowski, sans courbure. Si on explicite cette métrique on obtient :

Le second terme correspond à la perturbation et est également indépendant du temps :

Ainsi nous écrirons notre métrique

En explicitant l’élément de longueur :

Si nous négligeons les termes de l’ordre de

Le scalaire de Laue

devient :

et le second membre de l’équation, au premier ordre par rapport aux quantités

s’écrit  :

En négligeant les termes du second ordre dans le terme de perturbation de la métrique nous pouvons écrire une forme approchée du tenseur de Riemann contracté :

Ainsi la forme approchée des équations de champ devient  :

Considérons d’abord le cas m = n = 0. Comme nous avons pris une métrique indépendante du temps, le premier terme de l'équation ci-dessus est nul. Il nous reste l’équation :

( * )

Les symboles de Christoffel du premier genre sont définis par :

Comme la métrique de Lorentz est constante dans l’espace et dans le temps ceci se simplifie en :

De plus comme le terme de perturbation dans la métrique est également indépendant du temps ceci entraîne que [0 0 , 0 ] est nul. En négligeant les termes du second ordre dans le terme de perturbation nous obtenons :

qui est nul si béta = 0 ( ce qui correspond alors à la dérivée par rapport au temps ). En substituant dans ( * ) nous obtenons l’équation :

Laquelle, du fait que la métrique est indépendante du temps peut tout simplement s’écrire :

Rappelons ce que signifie cette notation. C’est une simple convention d’écriture. Cette équation peut s'écrire :

qui peut être identifiée à l’équation de Poisson si nous écrivons  :

On montre ainsi que la théorie classique ( équation de Poisson ) se présente comme le cas limite ( champ faible, vitesses faibles devant la vitesse de la lumière ) d’une théorie relativiste où la métrique ne dépend pas du temps.

Pour être complet il faut montrer que la gravité peut être assimilée à un phénomène métrique. Sans détailler tous les intermédiaires de calcul nou ne donnerons que la description schématique de ce calcul dont l'étudiant pourra trouver le détail dans tous les ouvrages consacrés à l'enseignement de la relativité Générale. On part encore d’une métrique de Lorentz perturbée qu’on écrira :

Explicitée :

On supposera que la vitesse v est faible devant la vitesse de la lumière c en faisant apparaître un petit paramètre béta = v/c.

On a

On peut écrire :

En se limitant au premier ordre en béta et epsilon on obtient :

On écrit ensuite le système d’équations différentielles donnant les géodésiques, que l'étudiant trouvera dans tous les ouvrages classiques. On calcule les symboles de Christoffel. L’équation donnant les géodésiques devient :

( * * )

La forme approchée du symbole de Christoffel se trouve être :

En introduisant ce résultat dans l’équation des géodésiques (* *) on obtient :

C’est une équation vectorielle. Comme on a fait l’hypothèse que la métrique était indépendante du temps ceci ne concerne que les variables d’espace. Donc le second membre de l’équation est un gradient.

En codant le vecteur-position par la lettre X et le gradient par le vecteur nabla nous pouvons écrire ceci :

Ceci n’est rien d’autre que la loi de Newton de la théorie classique, dérivant du potentiel gravitationnel j , si nous faisons l’identification :

Inversement, si on se donne un potentiel gravitationnel phi , le mouvement d’une particule s’inscrira selon une géodésique de l’espace-temps si le premier terme du tenseur métrique a la forme :

Cette étape est importante. La loi de Newton apparaît donc comme un des aspects de la Relativité Générale dans la double approximation :

- champ gravitationnel faible

- vitesses faibles devant c

Reprenons notre raisonnement depuis le début.

- Nous avons considéré une métrique g qui soit solution de l’équation d’Einstein (avec une constante cosmologique L nulle ).

- Nous avons supposé que cette métrique représentait une faible perturbation vis à vis d’une métrique de Lorentz h ( espace relativiste stationnaire et plat )

- Nous avons supposé que ce terme de perturbation ne dépendait pas du temps. Comme la métrique de Lorentz n’en dépend pas non plus, cette métrique g est aussi indépendante du temps.

- Nous avons effectué des développements en série de manière à obtenir une linéarisation de l’équation de champ d’Einstein.

- Nous avons trouvé que cette forme linéarisée pouvait être identifiée à l’équation de Poisson en faisant recours à un travail annexe où on montre que « champ de gravitation égale courbure », en liant le terme de perturbation de la métrique au potentiel gravitationnel selon la relation :

En prime, ceci nous fournit la valeur de la constante C, dite « constante d’Einstein » ( qui n’a rien à voir avec la « constante cosmologique Lambda ).

Source : Introduction to General Relativity

Ronald Adler

Maurice Bazin

Menahem Schiffer

Mac Graw Hill Book Company 1975

Remarque :

L’équation d’Einstein est « à divergence nulle ». La divergence nulle du tenseur énergie matière est l’expression géométrique de la conservation de l’énergie-matière. Cette contrainte implique que la constante d’Einstein soit une constante absolue, sinon il y aurait violation de ce postulat.

Mais, comme cette constante d’Einstein a été évaluée en fondant le calcul sur une métrique indépendante du temps ceci n’implique nullement la constance absolue de G et de c mais seulement la constance absolue du rapport :