Martingale (calcul stochastique)

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En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus $X$ est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date, dénotée $F s$ , est la valeur à cette même date :

E (X t | F s) = X s

Notons que $X$ est un processus adapté à la filtration $F$ .

On parlera de sous-martingale si $E(X_t|F_s) \geq X_s$ et de sur-martingale si $E(X_t|F_s) \leq X_s$ .

[modifier] Définitions

Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par $\mathbb R^+$ ou $\mathbb N$ .

Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribus $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ , c'est-à-dire $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \ \ \forall n \in \mathbb N$

Filtration naturelle

Soit $(X_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ définie par $\mathcal{F}_n = \sigma (X_1,\ldots ,X_n) \ \forall n \in \mathbb N$ est la filtration naturelle de la suite $(X_n)_{n \ge 0}$ .

Processus adapté

On dit que le processus $(X_n)_{n \ge 0}$ est adapté à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si $X n$ est $\mathcal{F}_n -mesurable$ pour tout entier n.

Martingale

Soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration.

Soit $(M_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une martingale par rapport à $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si:

$(M_n)_{n \ge 0}$ est adaptée à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ .

$M_n \,$ est intégrable pour tout entier n.

$E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) = M_n$ .

Si $(M_n)_{n \ge 0}$ respecte les deux premières conditions, et $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \ge M_n \ \forall n$ alors on l'appelle sous-martingale, et si $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \le M_n \ \forall n$ , alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale.

Processus prévisible

Soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration.

Soit $(Y_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(Y_n)_{n \ge 0}$ est processus prévisible si $Y_0 \,$ est $\mathcal{F}_0$ -mesurable et $Y_{n+1} \,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable pour tout entier n.

[modifier] Propriétés

Propriété 1

Soit $(M_n)_{n \ge 0}$ une martingale.

On a $E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n)) = E(M_n) = \ldots = E(M_0)$

Autrement dit, la suite $(E(M_n))_{n \ge 0}$ est constante.

[modifier] Exemples de martingales

exemple 1

Soit $X \,$ une variable aléatoire intégrable et $X_n := E(X |\mathcal{F}_n)$ .

Alors $(X_n)_n \,$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale.

exemple 2

Soit $(X_k)_k \,$ une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite $(S_n)_n \,$ définie par $S_n := \sum_{k=1}^n X_k$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale avec $\mathcal{F}_n = \sigma (X_0,\ldots ,X_n)$ .

exemple 3

Soit $(X n) n$ une $\mathcal{F}_n$ -martingale, soit $(Y n) n$ un processus borné prévisible par rapport à $(\mathcal{F}_n)_n$ .

Alors $(Z_n)_n \,$ définie par $Z_n := Y_0 X_0 + \sum_{k=1}^n Y_k (X_k -X_{k-1})$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale.

[modifier] Les martingales et les temps d'arrêts

Théorème 1

Soit $(M_n)_n \,$ une $\mathcal{F}_n$ martingale et $T \,$ un temps d'arrêt .

Alors $(M_{n\wedge T})_n \,$ est une martingale (appelé "martingale arrêtée").

Démonstration:

$M_{n\wedge T} = \sum_{j=1}^{n-1} M_j*1_{(T=j)} + M_n*1_{(T \ge n)}$ .

$\forall k < n \ M_k \ et \ 1_{(T=j)}$ sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$(T \ge n)=(T < n )^c = (\bigcup_{k=0}^{n-1} (T=k))^c \in \mathcal{F}_n$

Donc $M_{n\wedge T} \,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable

$|M_{n\wedge T} | \le |M_n|+|\sum_{j=1}^{n-1} M_j|$ d'où $M_{n\wedge T}\,$ est intégrable.

$E(M_{n+1\wedge T} |\mathcal{F}_n)= E(\sum_{j=1}^{n-1+1} M_j*1_{(T=j)} |\mathcal{F}_n) + E(M_{n+1}*1_{(T \ge n+1)} | \mathcal{F}_n)$

Or $M_j \ et \ 1_{(T=j)}$ sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable $\forall j \le n$ , de même pour $1_{(T \ge n+1)}$ .

$E(M_{n+1\wedge T} |\mathcal{F}_n)= \sum_{j=1}^{n} M_j*1_{(T=j)} + 1_{(T \ge n+1)}*E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n) = \sum_{j=1}^{n} M_j*1_{(T=j)} + 1_{(T \ge n+1)}*M_{n} = M_{n\wedge T}$