Martingala (matematica)

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Simulazioni di Moto browniano: un classico esempio di martingala a tempo continuo.

Nella Teoria della probabilità, una martingala è un processo stocastico $X t$ , indicizzato da un parametro crescente $t$ (spesso interpretabile come tempo), con la seguente proprietà: per ogni $s \leq t$ , l'attesa di $X t$ condizionata rispetto ai valori di $X_r, r \leq s$ , è uguale ad $X s$ . Il più noto esempio di martingala, in cui il parametro $s$ è continuo, è senz'altro il moto browniano.

Prima di dare una definizione precisa, illustriamo un esempio. Consideriamo un uomo che giochi a testa o croce con una moneta: ad ogni lancio della moneta guadagna un euro nel caso esca testa, mentre perde un euro in caso esca croce. Sia $X_0, X_1, X_2, \ldots$ il denaro (espresso in euro) posseduto dall'uomo rispettivamente prima del primo lancio ( $X 0$ ), dopo il primo lancio ( $X 1$ ), dopo il secondo lancio ( $X 2$ ) e così via.

Se la moneta non è truccata (cioè se le probabilità di vincere e perdere ad ogni lancio sono uguali), evidentemente il valore atteso dell'ammontare di denaro $X n$ dopo il lancio $n$ , sarà uguale al valore iniziale posseduto dall'uomo: $X 0$ . Tuttavia, la successione $X_0, X_1, X_2, \ldots$ ha anche una proprietà più sottile.

Infatti, sapendo che l'ammontare di denaro dopo il lancio $m$ è $X m$ , l'attesa (condizionata a tale informazione) dell'ammontare del denaro dopo il lancio $n \geq m$ è ancora $X m$ . Questa è appunto la proprietà di martingala.

[modifica] Storia

Paul Pierre Lévy, ha proposto la nozione di martingala

In ambito matematico, il termine martingala si riferiva originariamente ad una serie di strategie utilizzate dagli scommettitori francesi nel XVIII secolo. La più semplice di queste strategie, veniva utilizzata in giochi simili all'odierno testa o croce: lo scommettitore sceglieva una faccia di una moneta. Questa veniva lanciata, ed il giocatore guadagnava o perdeva una quantità prefissata di denaro a seconda che avesse indovinato o meno la faccia mostrata dalla moneta dopo la caduta. La strategia della martingala, consisteva nel raddoppiare la puntata dopo ogni lancio perso. Questa tecnica, che apparentemente conduce ad una vincita finale certa, è stata in verità la causa di forti perdite da parte di scommettitori. Un'analisi più attenta, mostra che la posta da mettere in gioco aumenta esponenzialmente con i lanci perdenti, e ci si convince facilmente del fatto che, per assicurarsi la vittoria, bisognerebbe disporre di una fortuna infinita da poter scommettere! Paradossalmente, uno dei risultati elementari implicato dall'odierna teoria delle martingale, è proprio l'inesistenza di un sistema di scommesse vincente.

Il concetto di martingala è stato introdotto nella teoria della probabilità da Paul Pierre Lévy. Gran parte dei risultati avanzati riguardanti le martingale sono stati prodotti da Joseph Leo Doob, con contributi importanti da parte di Kiyoshi Itō sulle applicazioni analitiche. Dagli anni settanta, la teoria delle martingale ha trovato ampie applicazioni in molti settori della matematica pura ed applicata. In particolare, nella Teoria della probabilità, in Fisica matematica, ed in Finanza matematica. Il successo di tale teoria è tale, che essa risulta una delle poche branche della matematica nota anche a studiosi di altre discipline, in particolare da chi si occupa di finanza e tecniche di borsa. Anche grazie ai contributi dati a questa teoria, Lévy, Itō e Doob sono considerati tra i maggiori matematici del XX secolo.