Nilradical
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[modifier] Définition
Soit A un anneau commutatif.
Le nilradical de A est l'ensemble 
, c'est-à-dire l'ensemble des nilpotents.
[modifier] Propriétés
1) Nil(A) est un idéal.
2) Si P est un idéal premier, alors 
3) 
(ceci est une conséquence de l'axiome du choix)
4) Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A (également conséquence de l'axiome du choix)
5) 
n'a pas d'éléments nilpotents
Démonstrations
(voir la 
.
et ainsi 
car P premier.
. Posons 
.
" est un ordre inductif sur I. D'où d'après le 
, d'où la contradiction.
. 
CQFD[modifier] Voir aussi
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