Nom des grands nombres

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Les noms des grands nombres (supérieurs au trillion) ne sont pratiquement jamais utilisés, du moins dans un contexte de communication normale. De nombreux systèmes ont été proposés pour nommer des grands nombres, mais aucun ne semble avoir eu d'utilité pratique.

Remarque: Cet article utilise la notation scientifique: 10⁶ correspond à un 1 suivi de six 0, soit 1 000 000; de même, 10⁹ vaut 1 000 000 000, et ainsi de suite.

Sommaire

1 Usage des grands nombres
2 Système d'Archimède
3 Famille des -llions
4 Autres systèmes de grands nombres
5 Voir aussi
- 5.1 Liens externes
- 5.2 References

[modifier] Usage des grands nombres

Quelques grands nombres ont réelement un sens pour l'homme, et sont d'un usage relativement courant. Ainsi, début 2007, une recherche dans l'actualité (Google) donne:

7 365 pour pages trouvées pour le mot million.
9 988 pour milliard.
22 pour billion.
36 pour trillion.
Rien pour quadrillion.

Au delà, les noms de grands nombres n'ont plus guère qu'une existence artificielle, mathématique: les pages contenant le mot "sextillion" ne sont plus que des pages de définitions mathématiques de ces grands nombres.

Dans l'usage courant, ces grands nombres sont exprimés avec la notation scientifique. Avec cette notation, qui existe depuis les années 1800, les grands nombres sont exprimés par un dix et un nombre en exposant. On dira par exemple: "L'émission en rayons X de cette radio-galaxie est de 1.3·10⁴⁵ erg". Le nombre 10⁴⁵ se lit simplement "dix puissance quarante-cinq": c'est facile à lire, facile à comprendre, et beaucoup plus parlant que "quattuordécillion" (qui présente de plus l'inconvénient de signifier deux choses différentes, suivant que la convention utilisée est l'échelle longue ou courte).

Quand c'est une quantité physique qui doit être désignée, ce sont les préfixe du système international qui sont préférentiellement utilisés. Tout le monde comprendra ce qu'est une "femptoseconde", alors qu'un "Billiardième de seconde" sera difficile à comprendre.

Ce n'est donc pas pour leur utilité pratique que les grands nombres sont nommés, mais ils ont de tout temps fasciné ceux qui se sont penchés sur eux en essayant d'apréhender ce que "grand nombre" pouvait bien signifier.

[modifier] Système d'Archimède

Un des premiers exemples connus est le décompte que fit Archimède du nombre de grains de sable que pouvait contenir l'univers, dans l'Arénaire (Ψάμμιτης). Pour celà, il généralisa le système de numération grec, dont le terme le plus élevé s'appelait la myriade (10⁴), ce qui permettait donc aux grecs de compter jusqu'à 99 999 999 (soit 10⁸-1, la myriade de myriade n'ayant pas de nom).

Archimède appela ces nombres nommables en grec des "nombres de premier ordre"; et appela la myriade de myriade, soit 10⁸, l'unité de base des "nombres de deuxième ordre". En prenant ce nombre comme nouvelle unité, Archimèdes était capable de nommer 99 999 999 nombres "de deuxième ordre", jusqu'à 10⁸·10⁸=10¹⁶. Ce nombre est à son tour pris comme l'unité des "nombres de troisième ordre", et ainsi de suite.

Archimède continua sa construction logique pour tous les "ordres" qui pouvaient être nommés en grec, c'est à dire jusqu'aux nombre d'ordre une myriade de myriade, soit $(10^8)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^8}$ , fin naturelle de cette série de désignation.

Archimède prolongea cette construction en prenant à nouveau ce nombre comme unité de base, ce qui lui permit d'étendre le système de dénomination jusqu'à $\left((10^8)^{(10^8)}\right)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^{16}}.$

A ce point, Archimède se servit de ce système de désignation pour estimer le nombre de grans de sable que pouvait contenir l'univers, parce que "innombrable comme les grains de sable" représentait pour les grecs l'exemple archétypal de quelque chose qui ne pouvait pas être compté. Il trouva comme ordre de grandeur "mille myriades du huitième ordre"(soit 10⁶³).

[modifier] Famille des -llions

[modifier] Système de Nicolas Chuquet

Nicolas Chuquet écrivit un livre, Triparty en la science des nombres, où l'on trouve le premier exposé de l'usage moderne de grouper les grands nombres par paquets de six chiffres, qu'il séparait par des points (on remarquera que les noms employés par Chuquet ne sont pas tout à fait les noms modernes).

Ou qui veult le premier point peult signiffier million Le second point byllion Le tiers poit tryllion Le quart quadrillion Le cinq^e quyllion Le six^e sixlion Le sept.^e septyllion Le huyt^e ottyllion Le neuf^e nonyllion et ainsi des ault'^s se plus oultre on vouloit preceder. Item lon doit savoir que ung million vault mille milliers de unitez, et ung byllion vault mille milliers de millions, et [ung] tryllion vault mille milliers de byllions, et ung quadrillion vault mille milliers de tryllions et ainsi des aultres : Et de ce en est pose ung exemple nombre divise et punctoye ainsi que devant est dit, tout lequel nombre monte 745324 tryllions 804300 byllions 700023 millions 654321. Exemple : 745324'8043000'700023'654321.

Cependant, l'ouvrage de Chuquet ne fut pas publié de son vivant. Une bonne partie en fut copiées par Estienne de La Roche dans un ouvrage qu'il publia en 1520, L'arismetique.

Cette description est celle qui correspond au système dit de l'échelle longue, où les préfixes correspondent aux puissances du million. Le bymillion de Adam (byllion pour Chuquet) correspond donc à 10¹², et le trimillion / tryllion vaut 10¹⁸.

C'est à Chuquet que l'on attribue l'invention du système, mais les premiers termes existaient avant lui. Les mots bymillion et trimillion apparaissent en 1475 dans un manuscript de en:Jehan Adam.

Le terme Million existait avant Adam et Chuquet. C'est un mot d'origine probablement italienne, millione, forme intensifiée du mot mille: un million est étymologiquement un gros millier, rappelant les unités de second ordre d'Archimèdes.
La manière dont Adam et Chuquet présentent ces termes suggère qu'ils décrivent un usage préexistant, plutôt qu'une invention personnele. Il est probable que des termes comme billion et trillion étaient déjà connus à cette époque, mais que Chuquet (expert dans l'art de manier les exposants) en a généralisé le système, inventant les noms correspondants aux puissances plus élevées.

Chunquet ne précisa que les dix premiers préfixes; l'extension de son système aux nombres supérieurs a toujours provoqué des variantes dans les solutions retenues pour adapter les noms latins au suffixe -llion.

[modifier] Formation des noms en -llion

Le système de Nicolas Chuquet consiste à faire suivre les préfixes bi-, tri-,... du suffixe -llion, pour former les noms d'unité successifs. Dans le système original, qui correspond à l'échelle longue, chaque unité vaut 10⁶ fois l'unité précédente. On a donc, de manière régulière:

Rang	Désignation	Valeur
1	mi-llion	10⁶
2	bi-llion	10¹²
3	tri-llion	10¹⁸
4	quadri-llion	10²⁴
5	quinti-llion	10³⁰
6	sexti-llion	10³⁶
7	septi-llion	10⁴²
8	octi-llion	10⁴⁸
9	noni-llion	10⁵⁴
10	deci-llion	10⁶⁰

Ces dix unités permettent d'atteindre 10⁶⁰, ce qui suffit largement aux usages physiques normaux. C'est le système recommandé en 1948 par la neuvième conférence générale des poids et mesures (et rendu légal en France par le décret 61-501 du 3 mai 1961). Ce système régulier est celui dit de l'échelle longue. Les pays anglo-saxon tendent à utiliser un système irrégulier, l'échelle courte, où un billion vaut 10⁹ et un trillion 10¹² (les autres unités étant sans applications pratiques).

Voir l’article Échelles longue et courte.

Les billiards, trilliards,... d'utilisation moins fréquente, se forment régulièrement sur les préfixes précédents: de manière régulière, un X-illiard vaut mille X-illion.

Au delà de dix, les noms sont régulièrement composés en utilisant comme préfixe le terme latin désignant le rang. La difficulté est alors de savoir compter en latin, et les termes correspondants souffrent souvent d'une orthographe mal stabilisée. Ainsi, on peut noter que le décrêt français introduit l'orthographe quatrillion au lieu du quadrillion traditionnel, sans que l'on puisse savoir si c'est un changement délibéré ou une simple erreur typographique.

[modifier] Normalisation proposée par Conway et Wechsler

Proposé par John Horton Conway et Allan Wechsler, ce système régularise et prolonge celui de Nicolas Chuquet. La première étape de son système consiste à normaliser l'écriture des préfixes latins, de 1 à 999 (dans le tableau qui suit, les tirets ne sont destinés qu'à faciliter la lecture, et ne font pas partie du nom de nombre).

N°	Unité isolée	Unité préfixe	Dizaine	Centaine
1	mi-	un-	(n)déci-	(n)(x)centi-
2	bi-	duo-	(n)vinginti-	(n)du-centi-
3	tri-	tre(s)-	(n)(s)tri-ginta-	(n)(s)tre-centi-
4	quadri-	quattuor-	(n)(s)quadra-ginta-	(n)(s)quadri-ngenti-
5	quinti-	quinqua-	(n)(s)quinqua-ginta-	(n)(s)qui-ngenti-
6	sexti-	se(x)(s)-	(n)sexa-ginta-	(n)ses-centi-
7	septi-	septe(m)(n)-	(n)septua-ginta-	(n)septi-ngenti-
8	octi-	octo-	(m)(x)octo-ginta-	(m)(x)octi-ngenti-
9	noni-	nove(m)(n)-	nona-ginta-	no-ngenti-

Les radicaux des unités peuvent prendre ou perdre des consonnes de liaisons:

tre devient tres devant les mots précédés d'un s: ainsi, 303=trestrecenti.
se devient ses devant les mots précédés d'un s: ainsi, 306=sestrecenti.
se devient sex devant les mots précédés d'un x: ainsi, 106=sexcenti, tandis que 600 = sescenti.
septe devient septem devant les mots précédés d'un m, et septen devant les mots précédés d'un n: ainsi, 107=septencenti et 87=septemoctoginta.
De même, nove devient novem devant les mots précédés d'un m, et noven devant les mots précédés d'un n: ainsi, 109=novencenti et 89=novemoctoginta.

Les chiffres sont énoncés dans l'ordre unité, dizaine, centaine; et quand le chiffre est un zéro, le terme correspondant est simplement omis.

Avec cette construction, un 421-llion s'appelle un un-vinginti-quadringenti-llion.

[modifier] Extension propoposée par Conway

Dans la même publication, Conway propose de construire les radicaux latins pour les nombres supérieurs à mille de la manière suivante:

Soit N le préfixe latin recherché pour écrire un N-illion.
Regrouper les chiffres de N par blocs de trois chiffres.
Utiliser le codage précédent pour chacun des blocs de trois chiffres, ou ni-lli si les trois chiffres sont nuls.
Intercaler lli entre chaque bloc ainsi obtenu.

Ainsi, avec cette méthode, un 3_000_102-llion s'appelle un tri-lli-ni-lli-duo-centi-lli-on.

[modifier] Autres systèmes de grands nombres

[modifier] Système Gillion

Proposé par Russ Rowlett, basé sur les préfixes numériques grecs, et les puissances de mille :

Valeur	Expression	Nom
10³	1000¹	Mille
10⁶	1000²	Million
10⁹	1000³	Milliard
10¹²	1000⁴	Tetrillion
10¹⁵	1000⁵	Pentillion
10¹⁸	1000⁶	Hexillion
10²¹	1000⁷	Heptillion
10²⁴	1000⁸	Oktillion
10²⁷	1000⁹	Ennillion
10³⁰	1000¹⁰	Dekillion

Valeur	Expression	Nom
10³³	1000¹¹	Hendekillion
10³⁶	1000¹²	Dodekillion
10³⁹	1000¹³	Trisdekillion
10⁴²	1000¹⁴	Tetradekillion
10⁴⁵	1000¹⁵	Pentadekillion
10⁴⁸	1000¹⁶	Hexadekillion
10⁵¹	1000¹⁷	Heptadekillion
10⁵⁴	1000¹⁸	Oktadekillion
10⁵⁷	1000¹⁹	Enneadekillion
10⁶⁰	1000²⁰	Icosillion

Valeur	Expression	Nom
10⁶³	1000²¹	Icosihenillion
10⁶⁶	1000²²	Icosidillion
10⁶⁹	1000²³	Icositrillion
10⁷²	1000²⁴	Icositetrillion
10⁷⁵	1000²⁵	Icosipentillion
10⁷⁸	1000²⁶	Icosihexillion
10⁸¹	1000²⁷	Icosiheptillion
10⁸⁴	1000²⁸	Icosioktillion
10⁸⁷	1000²⁹	Icosiennillion
10⁹⁰	1000³⁰	Triacontillion

[modifier] Système Myriade

Proposé par Donald E. Knuth, ce système est une autre manière de généraliser les myriades greques: au lieu que chaque "ordre de grandeur" corresponde à un regroupement de quatre chiffres, comme pour Archimède, Knuth considère que chaque ordre de grandeur peut avoir deux fois plus de chiffres que le précédent.

Au delà des noms où l'on reconnaît la présence du "y" caractéristique, il utilise des séparateurs différents pour des groupes de 4, 8, 16, 32 ou 64 chiffres (respectivement la virgule, le point-virgule, et les deux points, l'espace et l'apostrophe ; le séparateur décimal reste le point dans cette notation). Ils sont formés sur des puissances de deux successives des puissances de dix mille (myriade). Ce système permet d'écrire et nommer des nombres énormes (le premier grand nombre qui ne peut être exprimé avec les dénominations classiques est l'oktyllion, la mille-vingt-quatrième puissance de la myriade). Toutefois, le nom "myriade" reste le plus connu car il correspond à une dénomination historique.

Toutefois les noms sont rarement utilisés car ils sont souvent homonymes et homophones d’autres nombres (y compris en anglais où ces noms ont été définis), et créent de nouvelles ambiguïtés avec les échelles courtes et longues.

Valeur	Nom	Notation
10⁰	Un	1
10¹	Dix	10
10²	Cent	100
10³	Mille	1000
10⁴	Myriade	1,0000
10⁵	Dix myriades	10,0000
10⁶	Cent myriades	100,0000
10⁷	Mille myriades	1000,0000
10⁸	Myllion	1;0000,0000
10¹²	Myriade de myllions	1,0000;0000,0000
10¹⁶	Byllion	1:0000,0000;0000,0000
10²⁴	Myllion de byllions	1;0000,0000:0000,0000;0000,0000
10³²	Tryllion	1 0000,0000;0000,0000:0000,0000;0000,0000
10⁶⁴	Quadryllion	1'0000,0000;0000,0000:0000,0000;0000,0000 0000,0000;0000,0000:0000,0000;0000,0000
10¹²⁸	Quintyllion
10²⁵⁶	Sextyllion
10⁵¹²	Septyllion
10¹⁰²⁴	Octyllion
10²⁰⁴⁸	Nonyllion
10⁴⁰⁹⁶	Decyllion
10⁸¹⁹²	Undecyllion
10^16,384	Duodecyllion
10^32,768	Tredecyllion
10^65,536	Quattuordecyllion
10^131,072	Quindecyllion
10^262,144	Sexdecyllion
10^524,288	Septendecyllion
10^1,048,576	Octodecyllion
10^2,097,152	Novemdecyllion
10^4,194,304	Vigintyllion
10^{4,294,967,296}	Trigintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{40}}$	Quadragintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{50}}$	Quinquagintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{60}}$	Sexagintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{70}}$	Septuagintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{80}}$	Octogintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{90}}$	Nonagintyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{100}}$	Centyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{1000}}$	Millyllion
${10}^{\,\! 4 * 2^{10000}}$	Myryllion

[modifier] Le système Googol

Les termes googol et googolplex furent inventés par Milton Sirotta, neuveu du mathématicien Edward Kasner, qui les introduisit dans une publication de 1940, Mathematics and the Imagination,^[1] où il décrit cette invention:

Le terme "googol" a été inventé par un enfant, le neveu du Dr Kasner, alors âgé de huit ans. On lui avait demandé d'imaginer un nom pour un nombre très grand, par exemple un 1 suivi d'une centaine de zéros. Il était sûr que ce nombre n'était pas infini, et tout aussi certain qu'il n'avait pas de nom propre. Il suggéra le terme "googol", et dans la foulée en proposa un autre pour un nombre encore plus grand: le "googolplex". Un googolplex est beaucoup plus grand qu'un googol, mais reste fini, ce que l'inventeur du terme fit rapidement remarquer. Au départ, la définition proposée était un 1, suivi d'autant de zéro qu'on pourrait en écrire sans tomber de fatigue. C'est certainement ce qui risquerait d'arriver si quelqu'un essaye d'écrire un googolplex, mais deux persones différentes seraient fatiguées au bout d'un temps différent, et ça n'aurait pas de sens que Carnera soit un meilleur mathématicien que Einstein simplement parce qu'il a une meilleure endurance. Pour cette raison, le googleplex est un nombre spécifique, mais avec tellement de zéros derrière son "un" que le nombre de zéros est lui-même d'un googol.

Par la suite, Conway et Guy ^[2] ont suggéré comme extension que un N-plex corresponde par convention à 10^N. Avec ce système, un googol-plex vaut bien 10^googol, et un googolplexplex vaut 10^googolplex.

D'autres auteurs ont proposé les formes googolduplex, googoltriplex, etc., pour désigner respectivement 10^googolplex, 10^googolduplex, et ainsi de suite.

10¹⁰⁰	Googol
${10}^{\,\!10^{100}}$	Googolplex
10^-N	N-minex
10^N	N-Liste des grands nombres

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens externes

Les zillions selon Conway, Wechsler... et Miakinen (Miakinen).
Large Numbers article by Robert Munafo
How high can you count? by Landon Curt Noll.
Full list of large number names list sorted by 10ⁿ and by word length

[modifier] References

↑ Kasner, Edward and James Newman, Mathematics and the Imagination, 1940, Simon and Schuster, New York.
↑ The Book of Numbers, J. H. Conway and R. K. Guy, New York: Springer-Verlag, 1996, pp. 15–16. ISBN 0-387-97993-X.

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