Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

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En mathématiques, l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing apparaît dans l'étude des fractions continuées. Il est aussi relié à la fonction zeta de Riemann.

Sommaire

1 Introduction
2 Relation avec la fonction zeta de Riemann
3 Eléments matriciels
4 La fonction zeta de Riemann
5 Références

[modifier] Introduction

L'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing est l'opérateur de transfert de l'application de Gauss

$h(x)=1/x-\lfloor 1/x \rfloor.\,$

Cette opérateur agit sur les fonctions comme

$[Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right).$

La fonction propre zéro-ième de cet opérateur est

$\frac {\ln 2} {1+x}$

qui correspond à la valeur propre de 1. Cette fonction propre donne la probabilité d'occurrence d'un entier donné dans un développement en fraction continuée, et est connue sous le nom de distribution de Gauss-Kuzmin. Ceci en découle en partie parce que l'application de Gauss agit comme un opérateur de décalage troncaturant les fractions continuées : si $x=[0;a_1,a_2,a_3,\ldots]\,$ est la représentation en fraction continuée d'un nombre 0 ; x ; 1, alors $h(x)=[0;a_2,a_3,\ldots]\,$ .

Les valeurs propres supplémentaires peuvent être calculées numériquement ; la valeur propre suivante est $\lambda_1=0,3036630029\ldots\,$ et est connue sous le nom de constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing. Les formes analytiques pour les valeurs propres supplémentaires ne sont pas connues. On ignore si les valeurs propres sont irrationnelles.

[modifier] Relation avec la fonction zeta de Riemann

L'opérateur GKW est relié à la fonction zeta de Riemann. La fonction zeta peut être écrite sous la forme

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-s\int_0^1 h(x) x^{s-1} \; dx$

ce qui implique que

$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_0^1 dx\; x \left[Gx^{s-1} \right]$

par un changement de variables.

[modifier] Eléments matriciels

Considérons les développement en série de Taylor au point x=1 pour une fonction f(x) et $g (x) = [G f](x)$ . C'est-à-dire, soit

$f(1-x)=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n \frac{f^{(n)}(1)}{n!}\,$

et écrivons de même pour g(x). Le développement est fait par rapport à x=1 parce que l'opérateur GKW n'a pas un bon comportement au point x=0. Le développement est fait pour 1-x donc, nous pouvons garder x avec un nombre positif, $0 \le x \le 1\,$ . Alors, l'opérateur GKW agit sur les coefficient de Taylor comme

$(-1)^m \frac{g^{(m)}(1)}{m!} = \sum_{n=0}^\infty G_{mn} (-1)^n \frac{f^{(n)}(1)}{n!},$

où les éléments matriciels de l'opérateur GKW sont donnés par

$G_{mn}=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} {k+m+1 \choose m} \left[ \zeta (k+m+2)- 1\right].$

Cet opérateur est extrêmement bien formé, et ainsi il peut être suivi numériquement. Chaque entrée est une série zeta rationnelle finie. La constante de Gauss-Kuzmin est facilement calculée avec une grande précision en diagonalisant numériquement la partie supérieure gauche n x n. Il n'existe pas d'expression connue qui diagonalise cet opérateur ; il n'existe pas d'expression finie connue pour les valeurs propres ou les vecteurs propres.

[modifier] La fonction zeta de Riemann

La fonction zeta de Riemann peut être écrite sous la forme

$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {s-1 \choose n} t_n$

où le $t_n\,$ est donné par les éléments matriciels ci-dessus :

$t_n=\sum_{m=0}^\infty \frac{G_{mn}} {(m+1)(m+2)}\,$ .

En effectuant les sommations, on obtient :

$t_n=1-\gamma + \sum_{k=1}^n (-1)^n {n \choose k} \left[ \frac{1}{k} + \frac {\zeta(k+1)} {k+1} \right]$

où $\gamma\,$ est la constante d'Euler-Mascheroni. Ces $t_n\,$ joue un rôle analogue aux constantes de Stieltjes, mais pour le développement en factorielles décroissantes. En écrivant

$a_n=t_n - \frac{1}{2(n+1)}$

on obtient : $a_0 = -0,0772156\ldots\,$ et $a_1 = -0,00474863\dots\,$ et ainsi de suite. Les valeurs deviennent petites rapidement mais sont oscillatoires. Certaines sommes explicites sur ces valeurs peuvent être exécutées. Elles peuvent être reliées explicitement aux constantes de Stieltjes en réexprimant la factorielle décroissante comme un polynôme avec les coefficients en nombre de Stirling, puis en le résolvant. Plus généralement, la fonction zeta de Riemann peut être réexprimée comme un développement en termes de suites de Sheffer de polynômes.

Le développement de la fonction zeta de Riemann relaté ici sous forme de « factorielle descendante », a été introduit et complètement étudié dans :

A. Yu. Eremin, I. E. Kaporin, and M. K. Kerimov, The calculation of the Riemann zeta-function in the complex domain, U.S.S.R. Comput. Math. and Math. Phys. 25 (1985), no. 2, 111--119

A. Yu. Yeremin, I. E. Kaporin, and M. K. Kerimov, Computation of the derivatives of the Riemann zeta-function in the complex domain, U.S.S.R. Comput. Math. and Math. Phys. 28 (1988), no. 4, 115--124

Le dernier article contient une démonstration concernant le comportement asymptotique des coefficients du développement. Les coefficients sont décroissant lorsque

$\exp(-c n^{1/2})\,$

où $c\,$ est une constante positive.

[modifier] Références

A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (See section 15).
K. I. Babenko, On a Problem of Gauss, Soviet Mathematical Doklady 19:136-140 (1978) MR 57 #12436
K. I. Babenko and S. P. Jur'ev, On the Discretization of a Problem of Gauss, Soviet Mathematical Doklady 19:731-735 (1978). MR 81h:65015
Keith Briggs, A precise computation of the Gauss-Kuzmin-Wirsing constant (2003) (Contains a very extensive collection of references.)
A. Durner, On a Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy. Arch. Math. 58, 251-256, (1992). MR 93c:11056
Phillipe Flajolet and Brigitte Vallée, On the Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant (1995).
A. J. MacLeod, High-Accuracy Numerical Values of the Gauss-Kuzmin Continued Fraction Problem. Computers Math. Appl. 26, 37-44, (1993).
E. Wirsing, On the Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces. Acta Arith. 24, 507-528, (1974). MR 49 #2637
Linas Vepstas The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (2004) (PDF)