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Primitives de fonctions rationnelles

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article fait partie de la série
Primitives de fonctions
Rationnelles
Logarithmes
Exponentielles
Irrationnelles
Trigonométriques
Hyperboliques
Circulaires réciproques
Hyperboliques réciproques




On suppose a≠0.

  • \int (ax+b)^n\,dx= \frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C (n ∈ ℤ\{-1})



  • \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C


  • \int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\operatorname{Arctan}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}} +C & \rm{\, si \,} & b^2-4ac<0\\ -\frac{2}{2ax+b} +C & \rm{\, si\,} & b^2-4ac=0\\\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{argth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}     +C &\rm{\, si \,} & b^2-4ac>0\\\rm{ou} \frac{1}{\sqrt{b^2-4c}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| +C & \rm{\, idem} &\end{matrix}\right.


  • \int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{1}{2a}\ln |ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx



Quand b2 − 4ac < 0, et pour n∈ℕ\{0,1} on a :

  • \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx=

-\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,dx


Quand b2 − 4ac < 0, et pour n∈ℕ\{0,1} on a :

  • \int \frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx=

\frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,dx

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