Produit eulérien
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En mathématiques, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par des nombres premiers p, d'une série de Dirichlet. Le nom provient du cas de la fonction Zeta de Riemann, où une telle représentation sous forme de produit fut démontrée par le mathématicien suisse Leonhard Euler.
En général, une série de Dirichlet de la forme
où 
est une fonction multiplicative de n peut être écrite sous la forme
où 
est la somme
.
En fait, si nous considérons ceci comme des fonctions génératrices formelles, l'existence d'un tel développement formel en produit eulérien est une condition suffisante et nécessaire pour que soit multiplicative : ceci dit exactement que est le produit de 
lorsque n factorise le produit de puissances 
des nombres premiers distincts p.
Dans la pratique, tous les cas importants sont tels que la série infinie et le développement en produit infini sont absolument convergents dans une certaine région
- Re(s) > C :
c’est-à-dire dans un certain demi-plan droit des nombres complexes. Ceci nous donne déjà quelques informations, puisque le produit infini, pour converger, doit donner une valeur différente de zéro ; donc la fonction donné par la série infinie n'est pas zéro dans un tel demi-plan.
Un cas particulier important est celui dans lequel est une série géométrique, car est totalement multiplicative. Alors, nous aurons
comme c'est le cas pour la fonction zeta de Riemann (avec 
), et plus généralement pour les caractères de Dirichlet. Dans la théorie des formes modulaires il est typique d'avoir des produits eulérien avec en dénominateur des polynômes quadratiques. Le programme de Langlands général inclut une explication comparative de la connexion de polynômes de degré m, et de la théorie des représentations pour 
.
