Série des inverses des nombres premiers

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Au III^e siècle av. J.-C., Euclide montra l'existence d'une infinité de nombres premiers. Au XVIII^e siècle, Leonhard Euler démontra un résultat plus fort :

La série des inverses des nombres premiers diverge vers l'infini.

Cet article propose un panorama des démonstrations existantes, en général basées sur une démonstration par l'absurde :

[modifier] Preuve par l'analyse

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Notons $p i$ le i-ème nombre premier. Nous avons:

$\sum_{k=1}^\infty{1\over p_{k}} = c$

Il existe un nombre entier suffisamment grand i tel que:

$\sum_{k=1}^\infty{1\over p_{i+k}} < {1 \over 2}$ (reste d'ordre i de la série)

Définissons N(x) comme le nombre d'entiers strictement positifs n inférieurs à x et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les i premiers. Un tel entier n peut être écrit sous la forme $k m 2$ où k est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les i premiers nombres premiers pourraient diviser k, il y a au plus $2 i$ choix pour k. Conjointement avec le fait qu' il y a au plus $\sqrt{x}$ valeurs possibles pour m, cela nous donne:

$N(x) \leq 2^i\sqrt{x}$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et divisibles par un nombre premier différent des i premiers est égal à x - N(x).

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à x et divisible par p est au plus x/p, nous obtenons:

$x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2}$ ou encore : ${x \over 2} < N(x) \le 2^i\sqrt{x}$

Mais cela est impossible pour tout x supérieur à $2 2 i + 2$ . D'où une contradiction.

[modifier] Preuve par l'algèbre formelle

Cette preuve est une preuve directe. Notons (p_i) la suite srictement croissante des entiers premiers. Comme p_i>1, la série de terme général 1/p_i^k converge et sa somme vaut :

$\sum_k \frac{1}{p_i^k}=\frac{1}{1-1/p_i}$ .

En effectuant le produit sur les indices i, on trouve :

$\prod_i \frac{1}{1-1/p_i}=\prod_i\sum_k \frac{1}{p_i^k}=\sum_n\frac{1}{n}=\infty$ .

En inversant, il vient :

$\prod_i\left[1-\frac{1}{p_i}\right]=\frac{1}{\infty}=0$ .

Mais :

$\prod_i\left[1-\frac{1}{p_i}\right]=\exp\left[\sum_i \ln\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\right]$ .

Donc, la série de terme général $\ln\left(1-1/p_i\right)$ diverge, et le terme général est équivalent à -1/p_i. Donc, la série de terme général 1/p_i diverge.

[modifier] Voir aussi

Nombre premier
Le théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge

[modifier] Liens externes

Chris K. Caldwell: «Il existe une infinité de nombres premiers, mais, quelle est la grandeur de cet infini ?», http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml

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