Sous-corps exotique de R
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Nous construisons ici un exemple de sous-corps indénombrable strict de 
à l'aide du lemme de Zorn (et donc de l'axiome du choix).
Soit E l'ensemble des sous-corps de ne contenant pas 
. E est non vide (car il contient par exemple 
) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn il possède donc un élément maximal K. La maximalité de K permet de montrer que l'extension ![K[\sqrt{2}] \to \mathbb{R}](../../../math/d/2/c/d2c499835317acad6842807510cf6dfc.png)
est algébrique; l'extension 
l'est donc également, ce qui entraîne que K est indénombrable. Enfin, K est un sous-corps strict de car il ne contient pas . Notons que ![K[\sqrt{2}]](../../../math/4/e/5/4e5a317b30a3d5162080504cf08dae4c.png)
est strictement inclus dans: dans le cas contraire, l'automorphisme de corps de fixant les éléments de K et envoyant sur 
serait un automorphisme de corps de autre que l'identité, ce qui est absurde.
[modifier] Voir aussi
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