Stabilité de Lyapunov

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En mathématique et en automatique, la notion de stabilité de Lyapunov apparait dans l'étude des systèmes dynamiques. L'idée de Aleksandr Lyapunov consiste à dire que si tous les points d'un système démarrent autour d'un point x et que tous ces points restent autour de ce point x, alors x est stable au sens de Lyapunov. De plus, si tous ces points convergent vers x alors x est asymptotiquement stable.

[modifier] Les stabilités

Il existe des dizaines de types de stabilités différentes pour caractériser l'évolution d'un point vers son état stable. les principaux types de stabilité sont abordés ici.

Soit un système autonome $\dot x = f(x)$ où $f : D \to \mathbb{R}^n$ supposée localement Lypschitz sur $D \subset \mathbb{R}^n$ . On suppose que l'origine $x = 0$ est un point d'équilibre du système qui satisfait $f(0)=0 \Rightarrow x=0 \subset D$ .

Le point d'équilibre du système $\dot x = f(x)$ est :

stable au sens de Lyapunov si $\forall \epsilon > 0, \exists \delta (\epsilon) > 0$ tel que : $\left\| {x(0)} \right\| < \delta \Rightarrow \left\| {x(t)} \right\| < \epsilon, \forall t>0$

instable s'il n'est pas stable.

asymptotiquement stable si le point est stable et que $\left\| {x(0)} \right\| < \delta \Rightarrow x(t) \to 0$ quand $t \to \infty$

exponentiellement stable si le point est stable et que : $\exists \alpha , \beta > 0$ tel que $\left\| {x(t)} \right\| < \alpha \cdot \left\| {x(0)} \right\| \cdot e^{-\beta t} , \forall t>0$

[modifier] Théorème de Lyapunov (1892)

On présentera ici le théorème sans dépendance temporelle.

S'il existe une fonction dite de Lyapunov $V(x) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle que :

$\exists V_1,V_2 : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ non décroissantes telles que $V_1(\left\|{x}\right\|) < V(x) < V_2(\left\|{x}\right\|)$
$\exists V_3 : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ non décroissante et que $V_3(s) > 0, \forall s > 0$ telle que $\dot V(x(t)) < - V_3(\left\|{x(t)}\right\|)$

Alors le système est trivialement asymptotiquement stable.

On notera que la première condition ne dépend pas du système. En général, la fonction de Lyapunov possède une forme quadratique en x : $V(x)=x^T \cdot P \cdot x$ avec P définie positive ( $P = P T > 0$ )

Dans le cas linéaire, si le système est définie par $\dot X = A \cdot X$ le théorème de Lyapunov est le suivant (formulation originale de Lyapunov) :

$\exists P=P^T>0$ telle que : $A^T \cdot P + P \cdot A + Q = 0, \forall Q=Q^T>0 \Leftrightarrow$ A Hurtwitz $\Leftrightarrow$ le système est asymptotiquement stable

On voit ici la puissance du théorème de Lyapunov car il permet de conclure sur la stabilité d'un système dynamique grâce à une équation algébrique. Toute la difficulté est de trouver une fonction de Lyapunov V(x) dans le cas général ou la matrice P dans le cas linéaire. C'est à partir de ce théorème que l'on formule des LMI (Linear Matrix Inequalities) permettant de trouver les matrices adéquates en utilisant des méthodes d'optimisation pour conclure sur la stabilité mais également sur la robustesse des systèmes dynamiques.

[modifier] Bibliographie

A M Liapunov, The General Problem of the Stability of Motion, Taylor & Francis
Brigitte D'Andréa-Novel , Michel Cohen de Lara, Commande linéaire des systèmes dynamiques, Presses de l'Ecole des Mines de Paris
Hassan K. Khalil, Non linear Systems, Prentice Hall