Terence Tao
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Terence Tao (陶哲轩, pinyin : Táo Zhéxuān), né le 17 juillet 1975 à Adelaide en Australie, est un mathématicien qui travaille principalement dans les domaines de l'analyse harmonique, les équations aux dérivées partielles, la combinatoire, la théorie analytique des nombres et la théorie des représentations. De 1992 à 1996, Tao a été doctorant à l'Université de Princeton sous la direction d'Elias Stein. Tao est actuellement professeur de mathématiques à l'Université de Californie (UCLA) à Los Angeles, où il habite avec sa femme Laura et son fils William.
[modifier] Travaux et récompenses
En 1986, 1987, et 1988, Tao fut le plus jeune participant aux Olympiades internationales de mathématiques, où il gagna respectivement des médailles de bronze, argent, puis or. Il a obtenu la médaille d'or à treize ans tout juste, une performance jamais égalée depuis.
Il reçut le Prix Salem en 2000, le Prix Bocher en 2002 (conjointement avec Daniel Tataru et Fanghua Lin), et un Prix de la Fondation Clay en 2003, pour ses contributions en analyse dont ses travaux sur la conjecture de Kakeya et les wave maps. En 2005, il reçut le Prix Levi L. Conant (conjointement avec Allen Knutson).
En 2004, Ben Green et Terence Tao présentèrent une prépublication (maintenant acceptée par Annals of Mathematics) où ils démontrent qu'il existe des suites arithmétiques en nombres premiers arbitrairement longues.
En 2006, Tao reçoit la médaille Fields.
[modifier] Le théorème de Green et Tao
Ce théorème montre qu'il existe des suites arbitrairement longues de nombres premiers en progression arithmétique. Le mathématicien russe Tchebychev montra - à la fin du XIXe siècle - le postulat de Bertrand d'après lequel il existe toujours un nombre premier entre un entier et son double : par exemple entre 2 et 4, il y a 3 ; entre 8 et 16, il y a 11 ; entre 100 et 200 il y a 101, 103, etc.
Une progression arithmétique est une suite de nombres telle que la différence entre deux nombres consécutifs de la suite est constante. On appelle cette constante la raison de la suite. Par exemple 3,5,7,9,11,13 est une suite arithmétique de raison 2. La suite 12,19,26,33,40 est une suite de raison 7. Le mathématicien Legendre, à la fin du XVIIIe siècle avait affirmé que toute suite arithmétique infinie, dont le premier terme n'a pas de diviseur commun avec la raison, contient une infinité de nombres premiers.
Par exemple la suite des nombres impairs 3,5,7,9,11 est une suite de raison 2. Comme 2, et le premier terme de la suite 3, n'ont pas de diviseur commun, il y a une infinité de nombres premiers impairs. Cet exemple n'est pas un bon exemple, car à l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs (les nombres pairs sont divisibles par 2 donc les nombres premiers autres que 2 ne sont pas premiers). Un exemple moins élémentaire est le suivant : la suite 1,4,7,10,13,16,19, ... de raison 3 et de premier terme 4 contient une infinité de nombres premiers. Bien entendu il y a 2 autres suites de raison 3 :
3,6,9,12,15,18 qui est constituée de multiples de 3 et ne contient aucun autre nombre premier (sauf 3)
2,5,8,11,14,17 qui d'après l'assertion de Legendre devrait contenir une infinité de nombres premiers.
La démonstration de ce théorème, due au mathématicien allemand, Lejeune-Dirichlet vers 1840 sera à la base d'une nouvelle discipline : la théorie analytique des nombres. Elle utilise des méthodes pour étudier les fonctions d'une variable complexe, afin d'en tirer des conclusions sur les nombres premiers. Il montre même mieux, par exemple que les deux suites de raison 3 citées plus haut (celle commençant par 2 et celle commençant par 1) contiennent en moyenne autant de nombres premiers l'une que l'autre (pourvue que l'on donne un sens convenable au terme « en moyenne »).
La question résolue par Green et Tao est différente, mais liée : peut on trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande ? Par exemple 3,5,7 est une suite arithmétique de longueur 3 (et de raison 2) constituée de nombres premiers.
5,11,17,23,29 est une suite de raison 6 et de longueur 5 ; 7,37,67,97,127,157 est une suite de raison 30 et de longueur 6
La plus longue suite connnue est constituée de 23 termes. Pourtant, Green et Tao ont montré que l'on peut trouver de telles suites de longueur aussi grande qu'on le souhaite. Mais ils ne disent pas comment.
La technique utilisée a pour nouvelle source d'inspiration la théorie ergodique, une branche des systèmes dynamiques (ou équations différentielles). La première utilisation de cette méthode date sans doute des travaux de Hillel Furstenberg, qui démontra le théorème de Szemerédi. Ce théorème affirme qu'une suite de densité positive possède des suites arithmétiques de longueur arbitraire. Cependant la suite des nombres premiers n'est pas de densité positive. Le tour de force de Green et Tao est justement d'introduire de nouvelles méthodes permettant de contourner cette difficulté.
[modifier] Liens externes
- Page professionelle de Terence Tao
- Annonce du Prix Bocher
- Annonce du Prix de la fondation Clay Research
- math.NT/0404188 - Prépublications sur les suites arithmétiques en nombres premiers
- Article de wikipedia en anglais sur Hillel Furstenberg
- Article de wikipedia en anglais sur le théorème de Szemerédi
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Lauréats de la médaille Fields | modifier | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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