Théorème d'Ehrenfest

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Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec l'Hamiltonien $\hat{H}$ du système. Cela donne

$\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial A}{\partial t}\rangle$

où A est un opérateur quantique quelconque et $\langle A\rangle$ sa valeur moyenne.

Démonstration du théorème

Le théorème d'Ehrenfest s'adapte parfaitement à la représentation de Heisenberg en mécanique quantique. Le théorème d'Ehrenfest est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne, qui utilise le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. En fait, c'est une règle empirique générale qu'un théorème de mécanique quantique qui contient un commutateur puisse devenir un théorème de mécanique classique en changeant le commutateur par un crochet de Poisson et en multipliant par $i\hbar$ .

[modifier] Exemple général

Pour l'exemple très général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel, l'hamiltonien est simplement

$\hat{H}(x,p,t) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}(x,t)$

où x est la position de la particule. On suppose qu'on veut connaître la varitation instantannée de la quantité de mouvement p. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \langle \frac{\partial p}{\partial t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle$

puisque p commute avec lui-même et puisque lorsqu'il est représentée avec les coordonnées d'espace, l'opérateur d'impulsion $p = -i\hbar\nabla soit \frac{\partial p}{\partial t} = 0.$ Donc

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3.$

Ensuite en appliquant la règle du produit, on a

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,$

on voit apparaître la seconde loi de Newton. C'est un exemple du principe de correspondance ; le résultat signifie, comme la deuxième loi de Newton, que le mouvement net d'un grand nombre de particules est exactement donné par la valeur moyenne d'une particule seule.