Théorème de Darboux (géométrie)
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Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension 2n sont deux à deux localement symplectomorphes. Plus explicitement :
de sorte que, dans ces coordonnées, ω s'exprime :
Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe C2, la courbure.
.
:
![0=\Phi_t^*\left[\frac{d}{dt}\omega_t+L_{X_t}\omega_t\right] \Longrightarrow \omega-dp\wedge dq=-d\iota_{X_t}\omega_t](../../../math/b/e/a/bea93407fe95456ae0ae3223453a8dcb.png)
est exacte sur l'ouvert étoilé 
Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :
Le théorème de Darboux répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que ... ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :
-
- Quel est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de Rn dans (M,ω) ?
Première interrogation, quel sens donner au mot "taille" ? Soit r,R > 0 ; l'existence d'un symplectomorphisme 
implique 
. La capacité symplectique d'une variété symplectique (M,ω) est donnée par :
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[modifier] Voir aussi
- Variété symplectique
- Géométrie symplectique
- Capacité symplectique
- Chameau symplectique
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