Géométrie symplectique

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La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d'une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des systèmes dynamiques. Elle trouve des applications en géométrie algébrique et en géométrie riemannienne. Elle est habituellement définie brutalement par l'étude des « 2-formes différentielles fermées non dégénérées » - appelées formes symplectiques - sur les variétés différentielles^[1].

La compréhension de la géométrie symplectique pour commencer se heurte à deux difficultés :

Première difficulté, la géométrie symplectique n'est pas visuelle. Pour des raisons relevant de l'algèbre linéaire, les formes symplectiques n'existent que sur les variétés différentielles de dimension paire. Cependant la seule dimension paire que les non-mathématiciens peuvent se représenter est la dimension 2. Cependant, une forme symplectique sur une surface est une forme volume : l'étude des surfaces ne reflète donc pas les subtilités de la géométrie symplectique, à l'instar des sous-variétés lagrangiennes ou du théorème du non-plongement de Gromov. La géométrie symplectique prend tout son sens seulement à partir de la dimension 4.
Seconde difficulté, la question de l'existence des structures est encore ouverte aujourd'hui. C'est pour dire que personne ne comprend à ce jour les contraintes impliquées par la présence de formes symplectiques. Tout au plus sait-on énoncer des conditions nécessaires (voir ci-dessous). En pratique, dans les applications, les variétés étudiées sont naturellement munies de formes symplectiques (variétés kählériennes, blow-up, fibrés cotangents, ...).

Sommaire

1 Introduction à la géométrie symplectique
2 Origine
3 Références

[modifier] Introduction à la géométrie symplectique

Des connaissances élémentaires en géométrie différentielle sont nécessaires pour aborder les aspects techniques de la géométrie symplectique. L'introduction ici présentée donne un entr'aperçu des résultats fondamentaux qui se veut abordable.

[modifier] La géométrie symplectique linéaire

La géométrie euclidienne concerne les espaces affines euclidiens E : à ces derniers sont associées une distance naturelle, appelée distance euclidienne, unique invariant pour l'action diagonale du groupe des isométries affines de E sur E², et une notion d'angle. Les distances et angles définis par un ensemble de points de E sont préservés sous l'action d'une isométrie.

En oubliant la notion de distance, il est loisible de s'intéresser uniquement au volume euclidien. Il est bien connu qu'un isomorphisme linéaire affine préservant le volume est de déterminant +1 ou -1. Malheureusment, en dimension n, on perd ainsi toute information sur les configurations d'au plus n-1 points.

La géométrie symplectique linéaire apparaît comme une géométrie intermédiaire, dans laquelle on perd la notion de distance, tout en conservant une notion d'aire orientée, et donc un invariant associé à 3 points. À trois points A, B et C d'un espace vectoriel réel E doit être associée une aire a(ABC). Pour des raisons d'additivité et de monotonicité des aires, cette quantité doit s'écrire :

a (A B C) = ω(A B, A C)

où $\omega:E^2\rightarrow E$ est une forme bilinéaire. Comme une transposition sur les points A, B, C change l'orientation du triangle ABC, la forme $ω$ doit être antisymétrique au sens où, pour tous vecteurs u et v :

ω(u, v) = - ω(v, u)

Cette forme est dite non-dégénérée lorsque, pour tout vecteur u, il existe un vecteur v vérifiant : $\omega(u,v)\neq 0$ . Par définition, une forme symplectique sur E désigne une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée. Une telle forme est unique à isomorphisme linéaire près ; et son existence implique que la dimension de E soit paire, disons 2n. Le modèle standard est l'espace Cⁿ regardé comme espace vectoriel réel, avec comme forme symplectique la partie imaginaire de la métrique hermitienne standard.

Un isomorphisme linéaire ou affine de E est dit symplectique lorsqu'il préserve la forme symplectique $ω$ . L'ensemble des isomorphismes linéaires symplectiques de Cⁿ forme un groupe, appelé le groupe symplectique, noté Sp(n) ou Sp(2n) suivant les auteurs. C'est un groupe de Lie classique connexe non compact de dimension n(n-1)/2. Il contient le groupe unitaire U(n) comme rétracte par déformation forte : ces deux groupes ont donc le même type d'homotopie.

La classification des ellipsoïdes dans un espace euclidien de dimension 2n modulo les isométries est donnée par 2n invariants, qui sont leurs diamètres respectifs. Par opposition, comme observé par Hofer et Zehnder^[2], la classification des ellipsoïdes d'un espace symplectique modulo les applications affines symplectiques est donné par n invariants.

[modifier] Géométrie symplectique

Les variétés différentielles s'obtiennent par des recollements d'ouverts d'espaces vectoriels réels de dimension finie suivant des difféomorphismes. Un intérêt porté sur des structures particulières peut conduire à imposer des restrictions sur la nature de ces recollements.

Son objet d'études est les 2-formes différentielles fermées non dégénérées. Une telle forme différentielle est appelée forme symplectique. En clair, sur une variété différentielle M, on se donne une forme antilinéaire non dégénérée $ω x$ , et on demande à ce que la collection $\omega=\{\omega_x\}_{x\in M}$ ait une régularité en x. L'application $\omega:x\mapsto\omega_x$ est un exemple de 2-forme différentielle, qu'on exige fermée : tous champs de vecteurs X, Y, et Z vérifient :

$X\cdot\omega(Y,Z)+Y\cdot \omega(Z,X)+Z\cdot \omega(X,Y)=\omega([X,Y],Z)+\omega([Y,Z],X)+\omega([Z,X],Y)$

Darboux

Une variété munie d'une forme symplectique est appelée variété symplectique. Une fois les objets d'étude définis, on a coutume de s'intéresser aux relations qu'ils peuvent entretenir entre eux. Un difféomorphisme $f:M\rightarrow N$ s'appelle difféomorphisme symplectique lorsque f préservent les formes symplectiques $ω$ . De manière plus explicite, la différentielle $df(x):(T_xM,\omega_x)\rightarrow (T_xN,\eta_x)$ est un isomorphisme linéaire symplectique. L'internaute mal à l'aise avec la géométrie différentielle comprendra les choses ainsi : au premier ordre, f est un isomorphisme symplectique linéaire.

L'ensemble des difféomorphismes symplectiques de $(M,ω)$ forment un groupe, appelé groupe des difféomorphismes symplectiques, et noté $S y m p (M,ω)$ . Son étude a un intérêt de premier plan.

L'un des principaux résultats élémentaires de la géométrie symplectique est le théorème de Darboux : localement, deux variétés symplectiques de même dimension sont isomorphes. Dit autrement, aucun invariant local n'existe. Sur ce point, et pas le moindre, la géométrie symplectique s'oppose complètement à la géométrie riemannienne :

En géométrie riemannienne, l'existence d'invariants de classe C² se traduit par un groupe d'isométries de dimension finie et une quantité infinie de classes d'équivalence de métriques riemanniennes.
En géométrie symplectique, l'inexistence d'invariants locaux au contraire donne un groupe de dimension infinie de difféomorphismes symplectiques et un ensemble "discret" de classes d'équivalence de formes symplectiques.

Cette dichotomie résume bien l'opposition entre la souplesse de la géométrie riemannienne contre la rigidité de la géométrie symplectique. Cette rigidité se retrouve à bien d'autres niveaux (rigidité des symplectomorphismes, théorème de rigidité de Gromov, ...).

[modifier] Interactions

Géométrie de contact : Les liens sont tellement étroits que certains auteurs présentent la géométrie de contact comme un analogue en dimension impaire de la géométrie symplectique. Ces liens concernent notamment la conjecture de Weinstein ou la symplectification des variétés dites de contact.
Systèmes dynamiques (différentiables) : Les développements en géométrie symplectique ont été motivées par les conjectures d'Arnold concernant l'estimation du nombre de points fixes minimal d'un symplectomorphisme sur une variété symplectique compacte (voir Histoire). En retour, l'intégration de champs de vecteurs spécifiques dépendant du temps sur des variétés symplectiques donnent lieu à une classe particulière de symplectomorphismes, appelés difféomorphismes hamiltoniens. Les termes dynamique hamiltonienne ou système hamiltonien sont d'usage courant.
Ergodicité : La n-ième puissance d'une forme symplectique sur une variété de dimension 2n est une forme volume, préservée par les symplectomorphismes. Des travaux de Polterovich portent sur les propriétés ergodiques de ces difféomorphismes, et en particulier donnent des estimations de leurs entropies métriques.
Géométrie riemannienne : Une famille importante de variétés symplectiques est donnée par les variétés cotangentes.
Géométrie algébrique : Suite aux travaux de Gromov, un certain nombre de concepts de géométrie complexe s'adaptent en géométrie sympelectique : courbes holomorphes, invariants de Gromov-Witten, ...

[modifier] Origine

La géométrie symplectique est née de la formalisation hamiltonienne des lois de la mécanique classique. Cette formulation est née par la somme successive des travaux de Newton, de Lagrange, et de Hamilton, du XVII^e au XIX^e. Mais ce n'est que dans les années 1960 que les outils de la géométrie symplectique ont pu être formalisés, sous l'impulsion de Vladimir Arnold, et avec la participation active de Mikhaïl Gromov et Jean-Marie Souriau.

[modifier] Genèse de la géométrie symplectique

En 1666, Newton révolutionne simultanément la physique et les mathématiques en énonçant la loi d'attraction universelle. Cette loi permet de décrire le mouvement relatif d'une planète autour de son étoile. Encore aujourd'hui, malgré l'avènement de la relativité générale, cette loi est toujours utilisée aujourd'hui dans la détection des exoplanètes. Une planète, à l'instar de la Terre, subit la force attractive du Soleil, et son évolution est décrite par l'équation différentielle :

$\frac{d^2r}{dt^2}=-\alpha\frac{r}{r^3}$

Le problème du mouvement relatif de deux corps en interaction mututelle est devenu un exercice classique incontournable du premier cycle universitaire. Newton lui-même en a donné une solution correcte dans les propositions 57 à 65 de ses Principia. La planète décrit par rapport à l'étoile un mouvement elliptique dont l'étoile est l'un des foyers. Six constantes sont nécessaires pour décrire ce mouvement :

deux constantes $t, u$ pour paramétrer le plan dans lequel le mouvement s'effectue ;
deux constantes $v, w$ pour décrire la position du second foyer dans ce plan ;
une constante e, appelée l'escentricité, pour décrire l'ellipse ;
et une constante $θ$ pour décrire la position initiale de la planète.

Toutefois, cette description oublie la présence d'autres planètes. Le problème à $n\geq 3$ corps est hautement plus ardu. Il résiste encore aujourd'hui à trois siècles d'histoire. Aucune solution analytique n'est connue, excepté pour le problème à trois corps, pour lequel on sait déterminer certaines solutions dites "homographiques".

De 1808 à 1811, Joseph-Louis Lagrange, alors professeur de mathématiques à l' École polytechnique, s'intéresse au problème de la stabilité des planètes du système solaire. Compte-tenu du nombre de corps considérés, le problème est de taille ; il s'est depuis complexifié au fur et à mesure des avancées dans les observations astronomiques.

Grossièrement, la méthode de Lagrange consiste à effectuer des petites perturbations sur le mouvement d'une planète, autrement dit, sur les six constantes d'intégration. Cette pertubation varie dans le temps suivant une loi moyennant les forces subies :

$(t_0,u_0,v_0,w_0,e_0,\theta_0)\mapsto (t_0+t(t),u_0+u(t),v_0+v(t),w_0+w(t),e_0+e(t),\theta_0+\theta(t))$

Les calculs n'étaient pas justifiés. Poincaré montre la divergence des séries utilisées par les astronomes dans Méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Il faudra attendre la seconde moitié du XXe siècle pour que les outils nécessaires soient introduits. La véritable révolution apportée par Lagrange est d'avoir introduit une fonctionnelle d'énergie, aujourd'hui notée L et appelée Lagrangien, dont les points critiques sont les trajectoires du mouvement.

[modifier] Histoire de la géométrie symplectique

L'intérêt croissant vis-a-vis des structures symplectiques durant les dernières décennies s'explique par les besoins de la physique du XX^e siècle. Le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique est à ce jour encore mal compris. La question de fonder de sérieuses bases mathématiques est un défi qui a conduit les mathématiciens à s'interroger à nouveau sur la dynamique hamiltonienne (la mécanique classique, des systèmes dynamiques de points matériels à l'optique géométrique). Le regard porté à la lumière de la géométrie différentielle ne pouvait être que nouveau.

Dans la continuation des travaux de Lagrange et de Hamilton, pour établir l'existence d'orbites périodiques dans le problème des trois corps, Henri Poincaré se ramène à l'étude d'une application préservant l'aire sur un anneau $S^1\times [-1,1]$ . Cette application s'est avérée par la suite d'une grande utilité dans l'étude des flots de champs de vecteurs. Elle est aujourd'hui connue sous le nom d'application de retour de Poincaré.

Les résultats furent démontrés dans les années 1920 par George David Birkhoff ; ils sont aujourd'hui considérés comme les premiers travaux sur la géométrie symplectique - s'ils peuvent être considérés comme tels. Le théorème de Birkhoff affirme l'existence de points fixes pour un difféomorphisme de l'anneau $S^1\times [-1,1]$ , qui préserve la mesure de Lebesgue, et qui induit un difféomorphisme croissant sur $S^1\times {1}$ et un difféomorphisme décroissant sur $S^1\times {-1}$ . En réalité, ils portaient d'avantage sur la préservation du volume. Mais en dimension 2, une mesure est essentiellement une forme d'aire, donc une forme symplectique. La dimension 2 reflète mal les particularités propres à la géométrie symplectique.

Le théorème de Birkhoff préfigure la conjecture d'Arnold, énoncée au début des années 1960. Cette conjecture s'efforce de trouver un minorant du nombre d'orbites péridique pour un difféomorphisme symplectique sur une variété symplectique compacte. En 1983, Conley et Zehnder démondrent la conjecture pour le tore par une étude variationnelle. Inspiré de ces travaux, Andreas Floer démontre en partie la conjecture pour une large classe de variétés symplectiques compactes, étendue par la suite par Weinstein. Les méthodes utilisées ont contribuées à la mise en place de l'homologie de Floer. La formulation de cette homologie représente un des aspects les plus puissants mis en place ces dernières décennies.

Brièvement, et du moins sous certaines hypothêses, l'homologie de Floer consiste à compter des orbites pèriodiques d'une isotopie hamiltonienne et, modulo translation, des cylindres reliant ces orbites répondant à une EDP elliptique. L'ellipticité joue un rôle central.

Le théorème KAM figure parmi les résultats les plus cités en dynamique hamiltonienne. Il étudie la stabilité des systèmes mécaniques complètement intégrables. Le nom du théorème est l'abréviation des trois mathématiciens qui ont contribué à sa démonstration : Kolmogorov, Arnold et Moeser. Il justifie dans le langage actuel des mathématiques les résultats de Lagrange.

Une autre investigation importante concerne l'introduction des capacités symplectiques. Ce sont des invariants symplectiques vérifiant de bonnes conditions de normalisation et d'homogénéité. Leur classification reste totalement incomprise à ce jour. Il existe un grand nombre de capacités introduites^[3] : le rayon de Gromov, lié au théorème de non-plongement de Gromov ; les capacités d'Ekeland-Hofer et de Hofer-Zehnder, utilisant des études variationnelles sur la dynamique hamiltonienne ; ou encore un grand nombre de capacités dites spectrales dont l'introduction a été initiée par Claude Viterbo. L'utilisation de ces capacités a permis une preuve partielle de la conjecture de Weinstein (évoquée plus haut), et une preuve du théorème de rigidité de Gromov.

L'usage d'une généralisation des courbes holomorphes a porté de forts développements en géométrie symplectique.

La géométrie symplectique s'est constituée comme domaine d'étude à part entière dès la fin des années 1960. Ce nouveau souffle dans la recherche mathématique a introduit parallèlement d'autres disciplines, la quantification géométrique et la Théorie des champs symplectique.

[modifier] Étymologie, Histoire de la terminologie

Image:Hermann Weyl.jpg

Avant d'être appelé "groupe symplectique (linéaire)", le groupe $S p (n)$ des isomorphismes linéaires symplectiques de Cⁿ était appelé "groupe du linéaire complexe". Afin d'éviter tout risque de confusion bien réel, Hermann Weyl introduit l'adjectif "symplectique", basé sur la racine grecque συµπλεκτικoς, traduction de la racine latine de "complexus".

« The name "complex group" formerly advocated by me in allusion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more ambarrassing through collision with the word "complex" in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective "symplectic". Le nom "groupe complexe" que j'ai précédemment évoqué en allusion à la droite complexe, est devenu de plus en plus embarassant par l'usage de "complexe" dans l'expression "nombre complexe". Je propose donc de le remplacer par l'adjectif grec correspondant "symplectique". » Hermann Weyl, The classical Groups. Their Invariants and Representations

Si "complexus" a donné le nom de complexité d'où dérive "nombre complexe", ce nom latin traduit l'idée d'entrelacement. D'ailleurs, en histoire naturelle, l'adjectif symplectique désigne "être entrelacé avec un autre corps".

[modifier] Références

[modifier] Notes

↑ D. McDuff et D. Salamon, Introduction to symplectic topology, Second Edition, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
↑ H. Hofer et E. Zehnder, Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics, Birkhäuser, 1994.
↑ K. Cieliebak, H. Hofer, L. Latschev, F. Schlenk, Quantitative symplectic geometry, 9 juin 2005.

[modifier] Liens internes

[modifier] Liens externes

Symplectic topology in the nineties, par Yasha Eliashberg, publié dans Differential Geometry and its Applications, Volume 9, Issues 1-2 , August 1998, Pages 59-88.

Accès libre en ligne. Excellent article listant les principaux papiers de géométrie symplectique publiés avant 1998.
Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, par Patrick Iglesias.

Article sur la méthode des variations des constantes de Lagrange, amplement argumentés, et largement abordable par le grand public.
Aperçu des origines de la géométrie symplectique, par Patrick Iglesias-Zemmour.

Article sur l'histoire de la géométrie symplectique avec la correction d'idées faussement communément admises.
De la mécanique à la géométrie symplectique, par Michèle Audin et Patrick Iglesias.

Exposé sur le mérite de Lagrange et rapide résumé de l'histoire des mathématiques qui a conduit à la formulation de la géométrie symplectique.

[modifier] Publications spécialisées

(en) Alan D. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds [détail des éditions]
(en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology [détail des éditions]
Helmut Hofer et Eduard J. Zehnder ; Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics [détail des éditions]
(en) Vladimir Igorevic Arnold, Mathematical methods of classical mechanics [détail des éditions]

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