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En théorie des groupes, le théorème de Lagrange est un résultat élémentaire fournissant des informations combinatoires sur les groupes finis. L'énoncé précis est le suivant :
|
Pour un groupe G fini, et pour tout sous-groupe H de G, l'ordre de H divise l'ordre de G :
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On introduit l'entier [G:H], appelé indice de H dans G défini comme le quotient du cardinal de G par le cardinal de H :
![\mbox{card}(G)= \mbox{card} (H)\times[G:H]\,](../../../math/e/b/b/ebb44634047dd337525d0851e2248753.png)
On note parfois card(G) par | G | . La relation ci-dessus se réécrit :
![|G|=|H|\times[G:H] \,](../../../math/d/e/5/de5f57c76642be134307470fcbbe9a4c.png)
Démonstration
- La démonstration du théorème consiste à partitionner l'ensemble G en une famille d'ensembles équipotents à H. La donnée d'une partition équivaut à la donnée d'une relation d'équivalence sur G.
Remarque : la loi du groupe est notée multiplicativement. L'élément neutre sera noté e.
Soit R la relation binaire sur G définie par :
-
- R vérifie les propriétés suivantes :
- (Réflexivité) Par définition de l'inverse, tout élément x dans G vérifie l'identité x.x-1=e. L'élément neutre e appartient à H par définition d'un sous-groupe. De fait, xRx.
- (Symétrie) Pour tous x et y dans G, on écrit : x.y-1=(yx-1)-1. De suite, x.y-1 appartient à H si et seulement si yx-1 appartient à H ; équivalence qui se réécrit :
.
- (Transitivité) Pour tous x, y,z dans G, l'associativité du produit donne : xz-1=xy-1.yz-1. La partie H étant stable par produit, si xRy et yRz, alors xRz.
- La relation R est réflexive, symétrique, et transitive, donc elle définit une relation d'équivalence sur l'ensemble G. La classe d'équivalence de e n'est autre que H.
- Remarquons que la relation R est G-invariante à droite : pour tous x, y et z dans G, xRy implique (donc, est équivalent à) (xz)R(yz). En particulier, lorsque C désigne une classe d'équivalence, et x un élément de C, alors l'ensemble C.x-1 est la classe d'équivalence de e, donc H. Comme l'application
est une bijection, les ensembles C et H ont même cardinal.
- De suite, les classes d'équivalence partitionnent G en des parties de même cardinal que H. Cqfd.
[modifier] Applications courantes
- L'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.
- L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise l'ordre du groupe.
- Un groupe d'ordre premier est cyclique.
