Théorème de Noether (mathématiques)

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Soit M une variété différentielle de dimension n et L un lagrangien indépendant du temps sur M, id est une fonction différentiable $L:TM\rightarrow R$ . Une symétrie est un difféomorphisme $f:M\rightarrow M$ tel que l'on ait :

$L\circ df=L$

Une symétrie infinitésimale du lagrangien L est un champ de vecteurs V sur U tel que le groupe à un paramètre engendré $s\mapsto \Phi_s$ soit un groupe de symétries de L. Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange de L.

Théorème : Si $L:TM\rightarrow R$ est un lagrangien indépendant du temps, et que $V$ est une symétrie infinitésimale de L, alors la fonction G définie sur TM par :

$G(w)=\partial_{\mathcal{V}}L(w)(V\circ\pi(w))$

est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à L.

Comme usuellement, $\partial_{\mathcal{V}}L(w)$ désigne la différentielle verticale de L en w, vue comme une forme linéaire sur $T π(w) M$ .

Démonstrations

[modifier] Applications

[modifier] Mouvement à force centrale

Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse m dans un champ de forces dérivant d'un potentiel $V = V (r)$ ne dépendant que du rayon r. C'est le problème variationnel associé au lagrangien L sur $R 3$ :

$L(w)=\frac{m}{2}\|w\|^2-V(r)$

Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe D est engendré par un champ de vecteur de la forme :

$V(q)=\Omega\wedge q$

où $\wedge$ désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :

$G_{\Omega}(q,w)=m\dot{q}\cdot \left[\Omega\wedge q\right]=-\Omega\cdot m\left(q\wedge \dot{q}\right)$

est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation $Ω$ , on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :

$\mu=m(q\wedge \dot{q})$