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Théorème de récurrence

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.


Sommaire

[modifier] Énoncé moderne

soit Pn une assertion dépendant d'un paramètre n, alors les relation:

P0, \forall n \in N, Pn = > Pn + 1

impliquent:

\forall n \in N, Pn.

[modifier] Système dynamique

Soit un système dynamique au sens de la théorie ergodique, c'est à dire un triplet (X,μ,φ) où :

  • \phi : X \to X une application préservant la mesure μ, c'est à dire telle que :
\forall \ A \subset X \ , \quad (\mu \circ \phi^{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phi^{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)

[modifier] Récurrence d'un point

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable. Un point x \in A est dit récurrent par rapport à A si et seulement s'il existe un entier k \ge 1 pour lequel :

\phi^k(x) \ \in \ A

[modifier] Théorème de récurrence de Poincaré

[modifier] Énoncé

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable. Alors, presque tous les points x_0 \in A sont récurrents par rapport à A.

[modifier] Démonstration

Pour tout p positif, on peut définir l'ensemble :

U_p  \ = \ \phi^p(A) \ \cup \ \phi^{p+1}(A) \ \cup \  \dots \ \cup \ \phi^k(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=p}^{+\infty} \ \phi^k(A)

Comme sous-ensemble mesurable de X, il vérifie :

\mu(U_p)  \ \le \ \mu(X) \ < \ + \ \infty

Ces ensembles Up sont tous des sous-ensembles de l'ensemble U0 correspondant au cas particulier p = 0 :

\forall \, p \, > \, 0, \quad U_p \ \subset \ U_0

où :

U_0  \ = \ A \ \cup \ \phi(A) \ \cup \  \dots \ \cup \ \phi^k(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=0}^{+\infty} \ \phi^k(A)

En remarquant qu'on peut écrire :

U_0  \ = \ \phi^{- \, p}(U_p)

on en déduit que :

\mu(U_0)  \ = \ \mu(\phi^{- \, p}(U_p))  \ = \ \mu(U_p)


la deuxième égalité résultant de la conservation de la mesure. Les sous-ensembles Up possèdent donc tous la même mesure que l'ensemble U0 ; on en déduit que le complémentaire à Up dans U0 est de mesure nulle :

\mu(U_0 \backslash U_p)  \ = \ 0

Comme A \subset  U_0, l'ensemble des points x de A qui ne retournent pas dans A après k \ge p est donc de mesure nulle :

\mu \left( \ \left\{ \ x \in A \quad \mathrm{et} \quad x \notin U_p \ \right\} \ \right)  \ = \ 0

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

  • Henri Poincaré ; Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathamatica 13 (1890), 1-270. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques[1]. L'histoire de ce mémoire est célèbre ; lire e.g. : June Barrow-Green ; Poincaré & the three-body problem, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).

[modifier] Notes

  1. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Lefflet et Hermite.


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