Théorie ergodique

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La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Elle a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.

[modifier] Notations

[modifier] Dynamique discrète

Voir l’article Système dynamique mesuré.

L'objet d'étude en théorie ergodique est un triplet $((X, B),μ,φ)$ où :

$(X, B)$ est un espace mesurable, (c'est à dire que $B$ est une tribu sur $X$ )

$μ$ une mesure sur $(X, B)$ ,

$\phi : X \to X$ une application préservant la mesure $μ$ , c'est à dire telle que :

$\forall \ A \in B \ , \quad (\mu \circ \phi^{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phi^{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)$

L'application $\phi : X \to X$ engendre une dynamique discrète : partant d'un point $x_0 \in X$ , on obtient successivement $x 1 = φ(x 0)$ , puis $x 2 = φ(x 1) = φ 2 (x 0)$ , et ainsi de suite.

[modifier] Dynamique continue

On peut étendre l'étude au cas d'une dynamique continue en remplaçant l'application $\phi : X \to X$ précédente par un flot sur X, c'est à dire un groupe continu à un paramètre $\phi_t : X \to X$ tel que :

$\phi_0 \ = \ \mathrm{Id}$

$\forall \ (t,s) \, \in \, \mathbb{R}^2 \, \quad \phi_t \ \circ \phi_s \ = \ \phi_{t+s}$

Ce cas est particulièrement important puisqu'il inclus le flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi que le flot géodésique.

[modifier] Flot ou « cascade » ?

Le cas continu englobe le cas discret, car on peut toujours construire une application discrète à partir d'un flot continu, en posant par exemple $φ = φ t = 1$ pour l'unité de temps. Poursuivant l'analogie avec le vocabulaire de l'hydrodynamique, l'application discrète est alors parfois baptisée « cascade » par certains mathématiciens.

[modifier] Définition de l'ergodicité

L'application $\phi : X \to X$ est dite ergodique si et seulement si les seuls sous-ensembles de $X$ invariants sous $φ$ possèdent une mesure soit nulle, soit égale à la mesure totale de X ^[1].

Une application satisfaisant cette propriété était autrefois également dite « métriquement transitive ».

[modifier] Théorème ergodique de Birkhoff

[modifier] Moyenne temporelle & moyenne microcanonique

Soit f une « bonne » fonction sur X. On définit sa valeur moyenne temporelle par la limite (si elle existe) :

$\overline{f(x_0)} \ = \ \lim_{n \rightarrow + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}^{n-1} \ f \left( \phi^k (x_0) \right)$

Elle dépend a priori de la condition initiale $x 0$ . On peut également définir la moyenne spatiale de f, ou moyenne microcanonique, par :

$\langle \ f \ \rangle \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \ \int_X f\,d\mu$

La moyenne spatiale et la moyenne temporelle n'ont a priori pas de raison d'être égales.

[modifier] Théorème de Birkhoff (1931)

Lorsque l'application $φ$ est ergodique, moyenne spatiale et moyenne temporelle sont égales presque partout. Ce résultat constitue le célèbre théorème ergodique de Birkhoff ^[2].

[modifier] Temps de séjour moyen

Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable de X. On appelle temps de séjour dans A le temps total passé par le système dynamique dans A au cours de son évolution. Une conséquence du théorème ergodique est que le temps de séjour moyen est égal à la mesure de A :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}^{n-1} \ \chi_A\left(\phi^k (x)\right) \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \int_X \chi_A \, d\mu \ = \ \mu(A)$

où $χ A$ est la fonction indicatrice de A.

[modifier] Récurrences

[modifier] Théorème de récurrence de Poincaré

Voir l’article Théorème de récurrence.

Récurrence d'un point : Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x \in A$ est dit récurrent par rapport à A si et seulement s'il existe une infinité d'entiers $k \ge 1$ pour lesquels :

$\phi^k(x) \ \in \ A$

Théorème de récurrence de Poincaré : Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable de mesure strictement positive. Alors, presque tous les points $x_0 \in A$ sont récurrents par rapport à A.

[modifier] Temps de récurrence moyen

Un instant k tel que $φ k (x)$ est dans un ensemble mesurable A est appelé instant d'occurrence de A. Ces instants d'occurrence peuvent être classés par ordre croissant dans un ensemble dénombrable : $\{ k_0, k_1, \dots, k_i, \dots \}$ avec $k i + 1 > k i$ .

Les différences positives $r i = k i - k i - 1$ entre deux instants d'occurrence consécutifs sont appelés les durée de récurrence de A.

Une consequence du théorème ergodique est que la durée moyenne de récurrence de A est inversement proportionnelle à la measure de A , sous l'hypothèse que la condition initiale x appartient à A, de telle sorte que k₀ = 0.

$\lim_{n \to + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{i=1}^n r_i \ = \ \frac{1}{\mu(A)} \quad\mbox{(presque partout)}$

Ainsi, plus l'ensemble A est « petit » et plus il faut attendre longtemps en moyenne avant d'y retourner. Malheureusement, ce résultat ne nous renseigne pas sur l'écart-type de la distribution des temps de récurrence. Par exemple, pour le modèle des urnes d'Ehrenfest, Kac a pu démontrer^[3] que cet écart-type tendait vers l'infini lorsque le nombre de boules du modèle tendait vers l'infini, de telle sorte que des fluctuations importantes autour de la durée moyenne de récurrence devenaient de moins en moins improbables.

[modifier] Hiérarchie ergodique

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

[modifier] Système mélangeant

[modifier] Hyperbolicité & système d'Anosov

Voir l’article Système d'Anosov.

[modifier] Système de Bernoulli

[modifier] La hiérarchie ergodique

[modifier] Exemple : le flot ergodique sur une variété

L'ergodicité du flot géodésique sur une variété à courbure négative a été découverte par Hopf ^[4] en 1939.

La relation entre le flot géodésique et les sous-groupes à un paramètre de SL(2,R) a été établie par Fomin et Gelfand ^[5] en 1952.

L'ergodicité du flot géodésique sur les espaces symétriques a été établie par Mautner ^[6] en 1957.

Un critère simple pour l'ergodicité d'un flot homogène sur un espace homogène d'un groupe de Lie semi-simple a été établi par Moore ^[7] en 1966.

Beaucoup des théorèmes et résultats de ce domaine d'étude sont typiques de la théorie de la rigidité

Les flots d'Anosov constituent un exemple de flots ergodiques sur SL(2,R) et, plus généralement, sur une surface de Riemann à courbure négative. La plupart des développements à ce sujet se généralisent à des variétés hyperboliques à courbure négative constante, celles-ci pouvant être vues comme l'espace quotient d'un espace hyperbolique simplement connexe par un groupe discret de SO(n,1).

[modifier] Théorie ergodique & mécanique statistique

En dépit de progrès importants réalisés en théorie ergodique depuis la formulation par Boltzmann de l'hypothèse ergodique, son utilisation pour justifier l'utilisation de l'ensemble microcanonique en mécanique statistique reste à ce jour controversée ^[8].

[modifier] Problèmes ouverts

Le mathématicien Sergiy Kolyada maintient une liste de problèmes ouverts en théorie ergodique sur son site web.

[modifier] Articles liés

[modifier] Bibliographie

[modifier] Aspects historiques

M. Mathieu ; On the origin of the notion "Ergodic Theory", Expositiones Mathematicae 6 (1988) 373.

Giovanni Gallavotti ; Ergodicity, ensembles, irreversibility in Boltzmann and beyond, (1994). Texte complet disponible sur l'ArXiv : chao-dyn/9403004.

[modifier] Ouvrages modernes

Vladimir I. Arnold & André Avez ; Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989), ASIN 0201094061.

Ya G. Sinaï ; Introduction to Ergodic Theory, Princeton University Press (1976), ISBN

I.P. Cornfeld, S.V. Fomin & Y.G. Sinai ; Ergodic Theory, # Springer-Verlag (1982), ISBN 3540905804.

Karl Petersen ; Ergodic Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambrides University Press (1983), ISBN 0-521-38997-6.

Yakov Pesin & Luis Barreira ; Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory, University Lecture Series 23, American Mathematical Society, Providence (2001), ISBN 0-8218-2921-1.

Tim Bedford, Michael Keane & Caroline Series (eds.) ; Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces, Oxford University Press (1991), ISBN 0-19-853390-X.

Jean Moulin Ollagnier ; Ergodic Theory and Statistical Mechanics, Lecture Notes in Mathematics 1115, Springer-Verlag (1985).

Henk van Beijeren ; On some common misconceptions regarding the "Ergodic Hierarchy", (2004). Texte complet disponible sur l'ArXiv : cond-mat/0407730.

[modifier] Articles originaux

Eberhard Hopf ; Ergodic theory & the geodesic flow on a surface of constant negative curvature, Bulletin of the American Mathematical Society 77(6) (1971) 863.

Eberhard Hopf ; Differential geometry in the large - 1956 lectures notes, Lectures Notes in Mathematics 1000, Springer-Verlag (1983).

G.A. Margulis ; Application of ergodic theory to the investigation of manifold of negative curvature, Functionnal Analysis & Applications 3 (1969) 355.

Y. Pesin ; Characteristic Lyapounov exponents & smooth ergodic theory, Russian Mathematical Surveys 32(4) (1982) 54.

Y. Pesin ; Geodesic flows with hyperbolic behaviour of the trajectories & objects connected with them, Russian Mathematical Surveys 36 (1981) 1.

[modifier] Bibliothèque virtuelle

Joël Lebowitz & Oliver Penrose ; Modern Ergodic Theory, Physics Today, 26 (February 1973), 155-175. pdf.

David Ruelle ; Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publications Mathématiques de l'IHÉS 50 (1979), 27-58. Texte complet disponible au format pdf.

Mark Pollicott ; Lectures on ergodic theory, geodesic flows and related topics, Ulm (2003). Notes de cours non corigées au format pdf.

Charles Pugh & Michael Shub (appendix by Alexander Starkov) ; Stable ergodicity, Bulletin of the American Mathematical Society 41 (2004), 1-41. Texte disponible en ligne.

[modifier] Notes

↑ L'espace X étant supposé mesurable, il est en fait toujours possible de se ramener à une mesure de probabilité $\tilde{\mu}$ sur X en posant par définition :

$d\tilde{\mu} \ = \ \frac{d\mu}{\mu(X)}$

Dans ce cas, on a la normalisation : $\tilde{\mu}(X) = 1$
↑ George D. Birkhoff ; Proof of the ergodic theorem, Proceedings of the National Academy of Sciences USA 17 (1931) 656-660.
↑ Mark Kac ; Probability and related topics in physical science, Lectures in Applied Mathematics Series, Vol 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0821800477.
↑ Eberhard Hopf ; Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91 (1939) 261-304.
↑ Sergei V. Fomin & Israel M. Gelfand ; Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature, Uspehi Mat. Nauk 7 no. 1. (1952) 118-137.
↑ F. I. Mautner ; Geodesic flows on symmetric Riemann spaces, Annals of Mathematics 65 (1957) 416-431.
↑ C. C. Moore ; Ergodicity of flows on homogeneous spaces, American Journal of Mathematics 88 (1966) 154-178.
↑ Lire par exemple les articles de revue en physique théorique :
- George W. Mackey ; Ergodic Theory and its Significance for Statistical Mechanics and Probability Theory, Advances in Mathematics 12(2) (1974), 178-268.
- Oliver Penrose ; Foundations of Statistical Mechanics, Report on Progress in Physics 42 (1979), 1937-2006.
- Domokos Szasz ; Botzmann's ergodic hypothesis, a conjecture for centuries ?, Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica (Budapest) 31 (1996) 299-322. Texte au format Postscript.
ainsi que les essais philosophiques :
- Massimiliano Badino ; The Foundational Role of Ergodic Theory, (2005). Texte au format Word.
- Jos Uffink ; Compendium of the foundations of classical statistical physics,(2006). Texte au format pdf.