Théorèmes de Dini

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire

1 Introduction
2 Premier théorème
- 2.1 Démonstration
3 Deuxième théorème
4 Notes et références
5 Voir aussi

[modifier] Introduction

Il est tout le temps vrai qu'une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge aussi simplement. Malheureusement, la réciproque à cette proposition est en générale fausse. Prenons par exemple la suite de fonctions numériques définies sur $\R\,$ telle que $f_{n}(x)= 1_{[-n;n]}(x) \,\!$ c'est-à-dire qui vaut 1 si $x \in [-n;n]$ et 0 partout ailleurs. Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction f constante qui vaut 1 sur $\R$ mais elle ne converge pas uniformément vers cette fonction car le terme $|| f_{n} - f||_{\infty}$ qui vaut 1 pour tout n ne peut donc pas tendre vers 0 si n tend vers l'infini.

Cependant, les théorèmes de Dini montrent que sous certaines hypothèses, la convergence simple d'une suite de fonctions implique la convergence uniforme de celle-ci. Ce sont donc des outils très efficace en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément.

[modifier] Premier théorème

Soit $(X,d)\,$ un espace métrique compact. Soit $(f_{n})_{n \in \N}\,$ une suite de fonctions continues de $X\,$ dans $\R$ telle que :

la suite $(f_{n})_{n}\,$ converge simplement sur $X\,$ vers une fonction $f\,$
$f\,$ est continue sur $X\,$
$\forall x \in X$ , la suite $(f_{n}(x))_{n}\,$ est monotone

Alors la suite $(f_{n})_{n}\,$ converge uniformément sur $X\,$ vers la fonction $f\,$ .

[modifier] Démonstration

Soit $\epsilon > 0\,$ fixé quelconque. Pour tout $n \in \N$ , on considère les ensembles $V_{n,\epsilon}\,$ définis par:

$V_{n,\epsilon}=\{x \in X, |f(x)-f_{n}(x)| < \epsilon\}$

Remarque : d'après l'hypothèse 3. du théorème, on a la relation :

$\forall p \in \N, \forall q \in \N, q<p \Rightarrow V_{q,\epsilon} \subset V_{p,\epsilon}$

Puisque $f\,$ et les $f_{n}\,$ sont continues, on a immédiatement que les ensembles $V_{n,\epsilon}\,$ sont ouverts. De plus, puisque la suite de fonctions $(f_{n})\,$ converge simplement vers $f\,$ , on sait que :

$\forall x \in X, \exists n \in \N , |f(x)-f_{n}(x)| < \epsilon$ .

On en déduit que :

$X \subset \bigcup_{n \in \N} V_{n,\epsilon}$

On vient de mettre en évidence un recouvrement de $X\,$ par des ouverts. Or $X\,$ est compact, donc on sait qu'il existe un nombre fini d'indices $n_{1}<n_{2}<...<n_{k}\,$ tels que :

$X \subset \bigcup_{i=1}^{p} V_{n_{i},\epsilon}$

Mais d'après la remarque de ci-dessus, on a les inclusions :

$V_{n_{1},\epsilon} \subset ... \subset V_{n_{k},\epsilon}$

Donc, on a l'inclusion :

$\bigcup_{i=1}^{p} V_{n_{i},\epsilon} \subset V_{n_{k},\epsilon}$

D'où :

$X \subset V_{n_{k},\epsilon}$

Or d'après cette même remarque, on a :

$\forall n \in \N , n_{k}<n \Rightarrow X \subset V_{n_{k},\epsilon} \subset V_{n,\epsilon}$

On a donc mis en évidence un indice $n_{k} \in \N$ tel que :

$\forall n \in \N,n>n_{k} \Rightarrow \forall x \in X, |f(x) - f_{n}(x)|<\epsilon$

Au total, en reformulant tout ceci, on a donc montré :

$\forall \epsilon > 0 , \exists n_{k} \in \N, \forall n \in \N ,n>n_{k} \Rightarrow sup( \{|f(x)-f_{n}|, x \in X \} ) < \epsilon$

ce qui signifie exactement que la suite de fonctions $( f_{n})\,$ converge uniformément vers $f\,$ sur $X\,$

[modifier] Deuxième théorème

Soit $[ a , b ]\,$ un intervalle compact de $\R$ et $(f_{n})_{n \in \N}\,$ une suite de fonctions (non-nécessairement continues) de $[a , b ]\,$ dans $\R$ telle que :

la suite $(f_{n})_{n}\,$ converge simplement sur $X\,$ vers une fonction $f\,$ ;
la fonction $f\,$ est continue sur $X\,$ ;
la fonction $f_{n}\,$ est croissante pour tout $n \in \N$ .

Alors la suite $(f_{n})_{n}\,$ converge uniformément sur $X\,$ vers la fonction $f\,$ .