Théorie algébrique des nombres
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La théorie algébrique des nombres est une branche de la théorie des nombres dans laquelle le concept de nombre est étendu. On y considère les nombres algébriques qui sont les racines de polynômes à coefficients rationnels. Un corps de nombres algébriques est une extension de corps finie (et par conséquent algébrique) du corps des nombres rationnels. Ces ensembles contiennent des éléments qui constituent des analogues aux entiers, et qu'on appelle les entiers algébriques, et qui peuvent à nouveau être munis d'une structure d'anneau. Cependant, les propriétés habituelles des entiers (par exemple la factorisation unique) ne sont plus valables en général. Une technologie mathématique avancée - la théorie de Galois, la cohomologie galoisienne, la théorie des corps de classe, la théorie des représentations d'un groupe fini et les fonctions L - permet d'étudier cette nouvelle classe de nombres.
De nombreuses questions en théorie des nombres sont étudiées modulo p pour tous les nombres premiers p (voir les corps finis). Ce procédé est appelé localisation et conduit à la construction des nombres p-adiques ; l'étude des corps locaux emploie les mêmes techniques que celle décrite précédemment des corps de nombres algébriques. Elle est même en fait beaucoup plus simple, et les résultats sur les corps de nombres algébriques sont souvent déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le principe local-global.
[modifier] Référence
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
(en) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory [détail des éditions]
[modifier] Voir aussi
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