Trident de Newton
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Le trident de Newton est le nom donné à une courbe étudié par Isaac Newton. On la nomme aussi parfois parabole de Descartes - bien que ce ne soit pas une parabole.
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[modifier] Classification des cubiques
Dans une étude menée en 1676 mais publiée en 1704, Newton cherche à classifier toutes les courbes cubiques, c'est à dire les courbes planes dont l'équation est de la forme :
Il en dénombre 72 types que l'ont peut ranger dans quatre classes par des changements de repère appropriés:
- les courbes d'équation xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d
- les courbes d'équation xy = ax3 + bx2 + cx + d
- les courbes d'équation y2 = ax3 + bx2 + cx + d
- les courbes d'équation y = ax3 + bx2 + cx + d
Les tridents de Newton sont les courbes de type (2)
[modifier] Équation cartésienne
Les tridents de Newton ont pour équation cartésienne :
où d est non nul
[modifier] Analyse
[modifier] Domaine de définition
Les tridents de Newton ne sont pas définis en 0. Leur domaine de définition est donc :
[modifier] Dérivée
Ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont donc dérivables sur Df, et leur dérivée est :
[modifier] Limites
[modifier] Limite en l'infini
En l'infini, les tridents de Newton tendent ou bien vers 
, ou bien vers 
.
Si a>0 alors
.
Si a<0 alors
.
[modifier] Limites en 0
En 0, les tridents de Newton tendent vers ou .
Si d>0 alors 
et 
.
Si d<0 alors 
et 
.
[modifier] Asymptotes
Ils ont pour asymptotes la parabole
- y = ax2 + bx + c
ainsi que l'hyperbole
[modifier] Intersection avec l'axe des abscisses
On dénombre entre un et trois points d'intersection entre un trident de Newton et l'axe des abscisses selon la valeur des coefficients a, b, c, d.
[modifier] Lien avec le folium de Descartes
Le changement de variable
et 
Conduit à une équation de la forme :
En particulier, la courbe d'équation 
est alors transformée en un folium de Descartes
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles connexes
[modifier] Liens externes
- (en) Liste de courbes connues
- (en) Un applet Java de simulation de Tridents
- (fr) Le trident de Newton (explications)
- (en) Page sur les tridents
- (en) Comparaison entre les tridents de Newton et ceux de Descartes
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