Univers (mathématiques)
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En théorie des probabilités, un univers lié à une expérience aléatoire est l'ensemble de tous les résultats possibles que nous pouvons obtenir à l'issue de cette expérience. À chaque élément de l'univers, nous pouvons associer le sous-ensemble constitué de cet élément, appelé évènement élémentaire. On parle également d'espace des évènements élémentaires ou d'espace des observables, ou encore d'espace échantillon.
Pour n'importe quel univers discret (fini ou dénombrable), une probabilité est entièrement déterminée par les valeurs qu'elle prend en les évènements élémentaires.
Pour aborder un problème de probabilité, nous commençons presque toujours par la recherche d'un univers et par la définition précise de tous les évènements utiles à sa résolution. La recherche de l'univers consiste à représenter de manière unique les résultats possibles de l'expérience par des objets mathématiques (nombres, p-listes, p-listes d'éléments distincts, parties d'un ensemble, permutations, suites, ...) pour former un ensemble. Par exemple, si nous lançons une pièce, nous avons deux résultats possibles : pile, face. Nous pouvons alors définir l'univers Ω = {P, F}, où P représente pile et F représente face. En lançant un dé, nous choisirons l'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6}
À chaque résultat ω de l'univers est associé l'évènement élémentaire {ω}; tandis que toute partie de l'univers est appelée simplement un évènement (lorsque l'univers n'est pas discret, on appelle évènement toute partie dont on peut définir la probabilité).
Pour certains types d'expériences, nous pouvons définir plusieurs univers différents. Par exemple, quand nous tirons une carte d'un jeu de 52 cartes, nous pouvons nous intéresser au rang de la carte dans le jeu et définir l'univers comme l'ensemble des entiers de 1 à 52 ; d'autre part, nous pouvons nous intéresser à la couleur de la carte obtenue et définir l'univers comme étant l'ensemble {pique, cœur, carreau, trèfle}. Pour avoir une description complète d'un résultat, nous serions amenés à préciser la couleur et la hauteur, et à définir dans ce cas l'univers Ω comme le produit cartésien {pique, cœur, carreau, trèfle} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as}.
Pour choisir l'univers, nous devons aussi tenir compte des probabilités qui sont données par le problème ; et si cela est possible de considérer un univers sur lequel il y a équiprobabilité, c'est-à-dire tel que la probabilité soit uniforme.
