Valuation
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En mathématiques, plus particulièrement en géométrie algébrique et en théorie des nombres, une valuation est une mesure de la multiplicité. La notion est une généralisation de la notion de degré ou d'ordre d'annulation d'un polynôme en algèbre, du degré de divisibilité par un nombre premier en théorie des nombres, de l'ordre d'un pôle en analyse complexe ou du nombre de points de contact entre deux variétés algébriques en géométrie algébrique.
Sommaire |
[modifier] Définition
On appelle valuation une application d'un anneau commutatif unitaire (A, +, .) non nul vers un groupe abélien totalement ordonné (G, +, >) union l'infini
- v: A → G ∪ ∞
qui vérifie les propriétés suivantes :
- v(x) = ∞ ssi x = 0 ;
- v(xy) = v(x) + v(y), autrement dit v est un morphisme de (K*, .) dans (G, +) ;
- v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)), ce qui est relié à l'inégalité triangulaire dans les espaces métriques.
Notes :
- On utilise les conventions classiques a < ∞ et a + ∞ = ∞ pour tout a ∈ G.
- Certains auteurs se restreignent à une valuation sur un corps.
- On demande parfois à v d'être surjective.
[modifier] Valuations discrètes
Lorsque G est ℤ muni de l'addition, v est dite valuation de Dedekind ou valuation discrète. Deux valuations discrètes v1 et v2 sont équivalentes si et seulement elles sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que
- ∀ x ∈ G : v2(x) = k.v1(x)
ou
- ∀ x ∈ G : v1(x) = k.v2(x).
Les classes d'équivalence des valuations discrètes sur un anneau A sont appelées places.
[modifier] Valuation triviale
La valuation
-
v: A → G ∪ ∞ 0 → ∞ x ≠ 0 → 0
est dite valuation triviale.
[modifier] Propriétés
[modifier] Propriétés générales
A est un anneau commutatif unitaire non nul muni d'une valuation v.
- v(1) = v(-1) = 0.
- v(x - y) ≥ min(v(x), v(y)).
- Si v(x) < v(y) alors v(x + y) = min(v(x), v(y)).
- A est intègre.
- v se prolonge sur le corps des fractions Frac A :
- pour tout p/q dans Frac A, v(p/q) = v(p) - v(q) ;
- la prolongation est unique.
- Soit R = { x ∈ Frac A : v(x) ≥ 0 }, alors
- R est un anneau intègre ;
- pour tout inversible x ∈ (Frac A)*, x ∈ R ou x-1 ∈ R ;
- Frac R = Frac A.
[modifier] Valuations discrètes sur ℚ
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Les places de ℚ, c'est-à-dire les valuations discrètes sur ℚ à un facteur de proportionnalité près, sont :
- la valuation triviale ;
- les valuations p-adiques (cf. exemple ci-dessous).
[modifier] Valeur absolue associée
Soit v une valuation sur A à valeur dans G ⊆ ℝ, et ρ ∈ ]0, 1[. On associe à v la valeur absolue ultramétrique |.|v telle que
- |x|v = ρv(x).
[modifier] Exemples
Les applications suivantes sont des valuations.
[modifier] Ordre d'annulation d'un polynôme
Soit K un corps (commutatif) et K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K. Pour a ∈ K, on définit l'application
-
va: K[X] → ℤ ∪ ∞ P ≠ 0 → max { k ∈ ℕ : ∃ R ∈ K[X] P(X-a) = (X - a)k R(X - a) }
qui à un polynôme P non nul associe le degré du plus petit monôme non nul de P(X - a) et à un polynôme nul, l'infini. va(P) est l'ordre d'annulation de P en a ; pour un polynôme à coefficients réels ou complexes, il s'agit du plus petit entier positif ou nul n tel que dnP/dPn(a) soit non nul.
Note : cela marche également pour a dans la clôture algébrique de K.
[modifier] Ordre d'annulation d'une fraction rationnelle
Soit K un corps et K(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K. On définit l'application
-
va: K(X) → ℤ ∪ ∞ P/Q → v(P) - v(Q)
qui à une fraction rationnelle associe la différences des ordres d'annulation du numérateur et du dénominateur en a. Si v(R) est positif, il s'agit de l'ordre d'annulation de R en a, si v(R) est strictement négatif, il s'agit de l'ordre du pôle de R en a.
[modifier] Opposé du degré d'un polynôme
Soit K un corps et K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K. On définit l'application
-
v∞: K[X] → ℤ ∪ ∞ 0 → ∞ P ≠ 0 → -deg P
qui à un polynôme P associe l'opposé de son degré avec la convention deg 0 = -∞.
[modifier] Valuation p-adique
Pour p un nombre premier, on définit l'application
-
vp: ℤ → ℤ ∪ ∞ n → max { k ∈ ℕ: pk | n }
qui à un entier n associe l'exposant de p dans la décompositon en nombres premiers de n, avec la convention vp(0) = ∞. vp est appelée valuation p-adique sur ℤ et se prolonge sur le corps des fractions ℚ. Cette valuation définit la norme p-adique pour laquelle la clôture algébrique de ℚ est l'ensemble des nombres p-adiques ℚp.
Voir l’article Nombre p-adique.[modifier] Voir aussi
[modifier] Liens internes
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