אלף 0

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בסימון המתמטי אלף אפס. לערך העוסק ברבעון אלף אפס, ראו אלף אפס (רבעון).

$\!\, \aleph_0$ (קרי: אֲלף אפס) הוא הסימון המקובל בתורת הקבוצות לעוצמה של המספרים הטבעיים, שהיא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר.

סימן מיוחד זה נוצר על-ידי מייסדה של תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1893, והוא ראה אור בדפוס בשנת 1895, במאמרו של קנטור Die kleinste transfinite Cardinalzahl Alef-null (המספר המונה האינסופי הקטן ביותר אלף אפס), שהופיע בכתב העת Mathematische Annalen. במאמר כותב קנטור: $\!\, \aleph_0$ wir nennen die ihr zukommende Cardinalzahl, in Zeichen (נקרא למספר המונה הקשור בקבוצה זו בסימן $\!\, \aleph_0$ ).

במכתב ששלח קנטור ב-30 באפריל 1895 הסביר את מניעיו לבחור באות א של האלפבית העברי: "נראה לי שלמטרה זו מערכות אלפבית אחרות כבר היו בשימוש נרחב מדי". פרשנים שונים ניסו לייחס לקנטור כוונות עמוקות יותר, החל מהפירוש התמים שאלף, האות הראשונה באלפבית העברי, מציינת התחלה חדשה, המשך בפירושים שלפיהם קנטור, שהיה ממשפחה מתבוללת, ידע שאלף היא האות הראשונה של המילה העברית "אינסוף", וכלה בטענה שקנטור בחר באות אלף בשל משמעותה בקבלה.

את עוצמת הממשיים סימן קנטור באות $\!\, \aleph$ (כיום משתמשים גם בסימון $\!\, C$ לעוצמה זו). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר $\!\, \aleph=2^{\aleph_0}$ .

שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם ניתן להחליף את הסימן $\!\, \aleph$ בסימן $\!\, \aleph_1$ ?", כלומר האם כאשר נסדר את העוצמות לפי גודלן, עוצמת הממשיים (עוצמת הרצף) תבוא מיד לאחר עוצמת הטבעיים, או שיש עוצמה נוספת בין שתיהן. ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "השערת הרצף", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית. בשנת 1940 הוכיח קורט גדל שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל משפט אי השלמות של גדל, כלומר היא אינה כריעה.