עוצמת הרצף
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות 
, וכן מקובל גם הסימון 
לעוצמה זו.
האלכסון של קנטור הוא הוכחה לכך שהמספרים הממשיים אינם בני מניה, כלומר שעוצמת הרצף גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים (המסומנת 
).
ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר 
.
שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם ניתן להחליף את הסימן 
בסימן 
?", כלומר האם כאשר נסדר את העוצמות לפי גודלן, עוצמת הממשיים (עוצמת הרצף) תבוא מיד לאחר עוצמת הטבעיים, או שיש עוצמה נוספת בין שתיהן. ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "השערת הרצף", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר שכל קבוצה אינסופית שאינה בת מניה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף. אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה הוכיח קורט גדל, בשנת 1940, שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל משפט אי השלמות של גדל, כלומר אי אפשר להוכיחה ואי אפשר להפריכה, ולכן העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.
[עריכה] דוגמאות לקבוצות בעלות עוצמת הרצף
לקבוצות רבות המופיעות לעתים קרובות במתמטיקה עוצמה השווה לעוצמת הרצף. כמה מן הנפוצות הן:
- קבוצת כל המספרים הממשיים (הרצף)
- כל קטע שהוא ברצף המספרים הממשיים שאינו מנוון
- קבוצת כל המספרים האי-רציונליים
- קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים
- המרחב האוקלידי ה-n ממדי
- קבוצת המספרים המרוכבים
- קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, דהיינו קבוצת כל התת-קבוצות של המספרים הטבעיים
- קבוצת כל סדרות המספרים השלמים
- קבוצת כל הפונקציות הרציפות מן המספרים הממשיים לעצמם
- קבוצת קנטור
- הטופולוגיה האוקלידית על המרחב האוקלידי ה-n ממדי, דהיינו קבוצת כל הקבוצות הפתוחות בו
