אינסוף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אינסוף הוא מושג שזוכה במתמטיקה, בפילוסופיה, בתאולוגיה ובשפת היומיום למשמעויות רבות ושונות. המשותף לרוב המשמעויות הללו הוא תפיסת האינסוף כדבר מה גדול מעבר ליכולת ההבנה האנושית, דבר מה שתכולתו גדולה לאין שיעור, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם, וכדומה.

[עריכה] האינסוף בפילוסופיה

בירור ראשוני של המשמעות הפילוסופית של מושג האינסוף מופיע בפרדוקסים של זנון שנוצרו ביוון העתיקה במאה החמישית לפנה"ס. שלושה פרדוקסים אלה עוסקים בפרדוקסליות של התנועה ושל הזמן כאשר מחלקים גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התיאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מהמאה ה-17.

תיאור של האינסוף מופיע בכתביו של אריסטו:

תמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר, משום שמספר הפעמים שבהן ניתן לחלק גודל נתון לשניים אינו מוגבל. לפיכך האינסוף הוא פוטנציאלי ולעולם לא אקטואלי. מספר החלקים שביכולתנו ליצור גדול מכל מספר נתון.

רעיונותיו של אריסטו נוסחו ביתר פירוט בימי הביניים, למשל על-ידי הפילוסוף בן המאה ה-14 ויליאם איש אוקאם.

האינסוף מופיע בתנך מספר פעמים. בספר איוב פרק ה פסוק 9: "עושה גדלות ואין חקר נפלאות עד אין מספר", בספר תהילים מזמור קמה פסוק 3: "גדול ה' ומהלל מאד, ולגדלתו אין חקר" כלומר: לא ניתן לברר ולבדוק כמה ה' גדול, או לא ניתן לבדוק פרטיו עד הסוף.

[עריכה] האינסוף במתמטיקה

במתמטיקה, ישנם שני סוגים עיקריים של אינסוף - זה הבא לתאר גודל של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי - גודל שכזה מכונה עוצמה. השני בא לתאר תהליכים גבוליים, ומשמעותו היא "כמה שנרצה" - כלומר, שאיפה לאינסוף פירושה שאנו יכולים להגיע למספר גדול כרצוננו. זהו אינסוף שמושתת אך ורק על אלמנטים סופיים, אך מאחוריו עומד תהליך אינסופי.

ישנן גם מערכות מספרים שכוללות בהן את האינסוף כמספר, או מרחבים שבהם האינסוף נכלל בתור איבר של המרחב. בכל המקרים הללו הדבר גורר שינוי של כמה מהתכונות המתקיימות במערכת, ולעתים אין האינסוף שהוסף אליהן מהווה יותר מסימון לצורכי נוחות בלבד.

[עריכה] האינסוף כתהליך הגדל כרצוננו

תכונתם של המספרים הטבעיים, שלכל אחד מהם יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ליוונים הקדמונים (וזכתה לשם אקסיומת ארכימדס). אם נתבונן בסדרה שאיבריה הם המספרים הטבעיים, נראה כי ככל שאנו מתקדמים בסדרה, הערכים של איברי הסדרה הולכים וגדלים בצורה כזו שעבור כל מספר טבעי, החל ממקום מסוים יהיו כל איברי הסדרה גדולים ממנו. זוהי דוגמה לתהליך של שאיפה לאינסוף, אף שהאינסוף בו בא לידי ביטוי רק באמצעות מושגים סופיים. הגדרה פורמלית של תהליך הגדל לאינסוף ניתנה במאה ה-17, בעת העיסוק במושג הגבול, בתחילת יצירתו של החשבון האינפיניטסימלי. במסגרת דיון זה הנהיג המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס בשנת 1655 את הסמל $\infty$ למושג האינסוף. הסמל בא לידי שימוש, למשל, בביטוי מהצורה $\lim_{n \to \infty}x_n$ שאותו יש לקרוא " הגבול של הסדרה $\ x_n$ כאשר n שואף לאינסוף" (ראו הרחבה בעניין זה בערך גבול).

[עריכה] האינסוף כגודל מוחשי

העיסוק באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי בפרדוקס של גלילאו, המדגים של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות שמספר איבריהן אינו סופי. גלילאו הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הריבועיים, אף שתוצאה זו סותרת לכאורה את העובדה הברורה, שיש מספרים טבעיים שאינם ריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות אינסופיות ניתנת בסיפור המלון של הילברט.

טיפול פורמלי בקבוצות אינסופיות נוצר על-ידי גיאורג קנטור בסוף המאה ה-19, במסגרת פיתוחה של תורת הקבוצות. מונח העוצמה נוצר במסגרת זו כדי לבטא את גודלה של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כגון קבוצת המספרים הטבעיים או קבוצת המספרים הממשיים. במסגרת זו, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הריבועיים יש אותה עוצמה, למרות שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה.

הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים אינסופיים. העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית $\ \aleph_0$ (קרי: אלף אפס), ואת עוצמת הממשיים סימן באות $\ \aleph$ .

יתרה מזו, משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של A גדולה מעוצמתה של A, ובפרט אין עוצמה 'גדולה ביותר'. ניתן להוכיח כי קבוצת כל העוצמות הינה כה גדולה עד כי לא ניתן לדבר על העוצמה שלה עצמה (כלומר, על פי תורת הקבוצות האקסיומטית, אוסף העוצמות גדול מכדי להיות קבוצה, והוא נחשב למחלקה). לקבוצת כל העוצמות (וקבוצות שקולות לה), שלא ניתן לטפל בהן במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קרא קנטור "האינסוף המוחלט".

[עריכה] פעולות באינסוף

יש כמה דרכים שבהן ניתן לצרף את הסמל $\ \infty$ למערכות מספרים מוכרות. בכל אחת מדרכים אלה מקבלות פעולות מסוימות משמעות, ובאותה עת מאבדים כמה מן התכונות המקוריות של המערכת. למערכות שונות הכוללות את סמל האינסוף יש שימושים שונים בהקשרים מתמטיים שונים, ולא קיימת דרך אחת שעליה קיימת הסכמה שהיא הדרך הנכונה לטפל באריתמטיקה של הסמל הזה.

דרך אחת לבצע פעולות באינסוף היא לספח לישר הממשי, בתור קבוצה סדורה, שתי נקודות חדשות: $\ \infty$ ו- $\ -\infty$ . מבחינת יחס הסדר, המוסכמה היא ש- $\ -\infty<a<\infty$ לכל a ממשי; הקבוצה נשארת סדורה לינארית. פעולת החיבור מוגדרת על-פי הכללים $\ \infty+a=\infty$ ו- $\ -\infty+a=-\infty$ לכל a ממשי, וכך מוגדרות כל האפשרויות לחבר שני איברים של הקבוצה החדשה, למעט $\ -\infty+\infty$ , ביטוי שאינו מוגדר. אפשר להרחיב את הגדרת הכפל באופן דומה, כאשר הביטוי $\ 0\cdot \infty$ נשאר לא מוגדר. פעולת החילוק מקיימת את הכלל $\ \frac{a}{\infty}=0$ לכל a ממשי, וגם כאן, הביטוי $\ \frac{\infty}{\infty}$ אינו מוגדר. הקבוצה החדשה אינה שדה (משום שהפעולות אינן מוגדרות שם באופן מלא). לכך שביטויים מסוימים נשארים בלתי מוגדרים יש סיבה: אם נקבע למשל ש- $\ \infty-\infty=0$ , נצטרך לקבל גם את השוויון המופרך $\ 1= 1+0 = 1+(\infty-\infty)=(1+\infty)-\infty=\infty-\infty=0$ , או לוותר על האסוציאטיביות של החיבור.

ראו גם שדה המספרים הסוריאליסטיים.

[עריכה] האינסוף בגאומטריה

אחת התוצאות הראשונות הנובעות מהאקסיומות של הגאומטריה היא שכל ישר מכיל אינסוף נקודות. תוצאות נוספות היא שבכל מישור נמצאים אינסוף נקודות שונות ואינסוף ישרים שונים, וכן ישנם אינסוף מישורים שונים.

אחת הדרכים בהן נוהגים להתבונן על המישור המרוכב היא כעל כדור, המכונה הספירה של רימן, שמכיל את כל איברי המישור המרוכב בתוספת נקודה אחת, בקוטב הצפוני של הכדור - האינסוף. זוהי דוגמה למצב שבו האינסוף הוא נקודה לכל דבר במרחב, והיא מאפשרת טיפול נוח בפונקציות שמקבלות ערכים אינסופיים.

בגאומטריה פרויקטיבית, מוסיפים נקודה שבה נחתכים כל הישרים. זוהי נקודת האינסוף.

[עריכה] האינסוף בקוסמולוגיה

התגלית לפיה היקום מתפשט העלתה בהכרח את השאלה האם התפשטות היקום היא תהליך שיימשך עד אינסוף או שתהליך זה ייעצר בשלב כלשהו. שאלה זו היא שאלת מפתח בקוסמולוגיה.

[עריכה] האינסוף בפיזיקה

באלקטרודינמיקה קוונטית ובתורת השדות הקוונטית, שני ענפים של תורת הקוונטים שהיא נושא מרכזי בפיזיקה המודרנית, עלתה בעיה של משוואות המציגות מציאות פיזיקלית ותוצאתן אינסוף. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן הציע פתרון לבעיה זו, הקרוי רנורמליזציה.

[עריכה] האינסוף בתאולוגיה

בתורת הקבלה, אינסוף הוא תוארו החשוב והמרכזי של האלוהים. הוא בא לתאר את הריחוק של האדם וחוסר תפיסתו בעצמותו של האל.

[עריכה] האינסוף באמנות

הצייר מוריץ קורנליס אשר הרבה לחקור את מושג האינסוף ביצירותיו. רבות מיצירותיו מציגות דמויות ההולכות וקטנות לאינסוף. דוגמה מובהקת לכך היא הציור "גבול מעגל 4 - שמים וגיהנום" משנת 1960.

[עריכה] ראו גם

0.999...

[עריכה] קישורים חיצוניים

אינסוף, באתר "ארץ הדעת"
אינסוף ומתמטיקה מאמר בנושא בפורום המתמטיקה של תפוז

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%99/%D7%A0/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%A3.html

קטגוריות: מתמטיקה | מטאפיזיקה | תורת ההכרה