אסימפטוטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

גרף הפונקציה y=1/x, שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו y = 0 ולקו x = 0

גרף הפונקציה y = 1/x + x שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לציר y=0 ולישר y=x

אסימפטוטה היא התקרבות של עקומה לקו ישר, למרחק הולך וקטן, השואף ל-0. ניתן לדבר גם על התקרבות אסימפטוטית של עקומה לעקומה אחרת.

תוכן עניינים

1 אסימפטוטה לישר
2 פונקציות אסימפטוטיות
3 מציאת אסימפטוטות לפונקציה
- 3.1 אסימפטוטה אנכית
- 3.2 אסימפטוטה לישר ואסימפטוטה אופקית

[עריכה] אסימפטוטה לישר

דוגמה מפורסמת לאסימפטוטה לישר היא גרף הפונקציה $\ y=\frac{1}{x}$ (היפרבולה), שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו y = 0 ולקו x = 0.

אסימפטוטות אינן חייבות להקביל רק לציר ה-x וה-y, כפי שמודגם בגרף הפונקציה $\ y=\frac{1}{x} + x$ .

אסימפטוטה x=a היא אסימפטוטה אנכית ל- (f(x כאשר מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים:

$\lim_{x \to a-} f(x)=\infty$
$\lim_{x \to a+} f(x)=\infty$
$\lim_{x \to a-} f(x)=-\infty$
$\lim_{x \to a+} f(x)=-\infty$

אין חובה ש- (f(x תהיה בלתי מוגדרת בנקודה x=a. לדוגמה הפונקציה

$f(x) = \begin{cases} 1/x & x \neq 0 \\ 5 & x = 0 \end{cases}$

גם כאשר $\lim_{x \to 0+} f(x) = \infty$ וגם כאשר $\lim_{x \to 0-} f(x) = -\infty$ , לפונקציה (f(x יש אסימפטוטה בנקודה x=0 אף שמתקיים $\ f(0) = 5$ .

[עריכה] פונקציות אסימפטוטיות

ניתן לומר שפונקציה (f(x אסיפטוטית לפונקציה (g(x כאשר ∞ → x. לכך יש ארבע משמעויות שונות:

f(x) − g(x) → 0.
f(x) / g(x) → 1.
לביטוי (f(x) / g(x יש גבול שאינו 0.
(f(x) / g(x חסומה ואינה שואפת לאפס.

[עריכה] מציאת אסימפטוטות לפונקציה

[עריכה] אסימפטוטה אנכית

על מנת למצוא אסימפטוטות אנכית לפנוקציה (f(x יש תחילה למצוא את תחום ההגדרה של (f(x. אם הפונקציה מוגדרת בכל הממשיים, אזי אין לפונקציה אסימפטוטה אנכית.
במידה ובתחום ההגדרה מתקבל x≠a,b,c.., אזי עבור כל נקודה שאינה בתחום, יש לבדוק אם $\lim_{x \to a,b,c...} f(x)=\infty$ . במידה וכך, יש אסימפטוטה אנכית בנקודה שנבדקה.
בכדי למצוא את הגבול, מומלץ להיעזר בחוקי עזר לחישוב גבולות. על מנת לבדוק את ערך הגבול בנקודה בה הגבול יוצא מסדר $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , מומלץ להיעזר בכלל לופיטל.

[עריכה] אסימפטוטה לישר ואסימפטוטה אופקית

על מנת למצוא את הפונקציה $y = m x + n$ שהיא אסימפטוטה לפונקציה (f(x, יש למצוא את השיפוע של הפונקציה (f(x באינסוף (m), ואת ההזזה שלה מראשית הצירים (n). לשם כך יש להשתמש בשיטות הבאות למציאת הערכים האלה:

עבור השיפוע:

$m=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$