מערכת לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מערכת לינארית היא מערכת הניתנת לתיאור על ידי משוואות דיפרנציאליות לינאריות (עבור מערכות עם זמן רציף) או משוואות הפרשים לינאריות (עבור מערכות עם זמן בדיד). כתוצאה מכך במערכות לינאריות מתקיימות התכונות הבאות:
1. עיקרון הסופרפוזיציה: אם $\ y(t)=h(x(t))$ היא פונקציה המתארת את המערכת הלינארית אזי מתקיים: $\ h(c_1x_1(t)+c_2x_2(t))=c_1h(x_1(t))+c_2h(x_2(t))$ , כאשר $\ x_1(t)$ ו- $\ x_2(t)$ הם שני קלטים כלשהם עבור המערכת ו-c₁ ו-c₂ הם זוג סקלרים כלשהם.
2. הפונקציות העצמיות של המערכת h הן פונקציות מעריכיות: האות היחיד שצורתו במוצא המערכת יהיה זהה לזה שנכניס בכניסת המערכת (פרט לגודל ולפאזה) יהיה פונקציה מעריכית מהצורה $\ e^{i\omega t}$ , כלומר עבור מערכות לינאריות מתקיים:

$\ h(e^{i\omega t})=Ae^{i\omega t}$

3. כמעט תמיד גם מניחים שהמערכת הלינארית שאיתה עובדים היא גם בלתי משתנית בזמן (וכך גם נניח בערך זה), כלומר אם $\ y(t)=h(x(t))$ אזי לכל הפרש זמן $\ \tau$ מתקיים $\ y(t+\tau)=h(x(t+\tau))$ .

תכונות אלו של המערכות הלינאריות הופכות אותן לנוחות במיוחד לניתוח במישור המרוכב: עבור המערכות בזמן רציף על ידי התמרת לפלס ואילו עבור המערכות בזמן בדיד על ידי התמרת Z. התמרות אלו מאפשרות להעביר את המשוואה או המשוואות המתארות את המערכות הלינאריות ממשוואות דיפרנציאליות (או משוואות הפרשים) למשוואות אלגבריות שאיתן קל בהרבה להתמודד. ניסיון דומה לבצע את ההתמרות האלה על משוואות לא לינאריות יסתיים במשוואות שאינן אלגבריות בלבד, ולכן לא נשיג כל פישוט.

פרט לנוחות של הפתרון המתמטי של מערכות המשוואות הלינאריות לאחר העברתן למישור המרוכב, השימוש בהתמרות מאפשר להגדיר את המערכת כיחס בין המוצא (ללא האיברים שמקורם בתנאי ההתחלה של המערכת) למבוא:
$\ H(s)={Y(s) \over X(s)}$ עבור מערכות בזמן רציף ו- $\ H(z)={Y(z) \over X(z)}$ עבור מערכות בזמן בדיד (אנו משתמשים כאן בכלל סימנים שלפיו הפונקציות בציר הזמן מסומנות באמצעות אותיות קטנות ואילו במישור המרוכב הן מסומנות באמצעות אותיות גדולות).
פונקציית המערכת H בשני המקרים נקראת פונקציית התמסורת של המערכת. אם נציב $\ s=i\omega$ או $\ z=e^{i\omega}$ אנו נקבל בהתאמה פונקציות הנקראות תגובת התדר של המערכת: $\ H(\omega)$ (לא נהוג לרשום את ה-i) עבור זמן רציף, ו- $\ H(e^{i\omega})$ עבור זמן בדיד.

תכונה חשובה של פונקציית התמסורת של מערכת לינארית היא שהיא זהה לתגובת המערכת להלם. כלומר, עבור כניסת (עירור) הלם - הביטוי המתמטי למוצא המערכת הוא הביטוי לפונ' התמסורת. הלם עבור מערכת בזמן רציף הוא הפונקציונל דלתא של דיראק $\ \delta(t)$ , ואילו עבור מערכת בזמן בדיד פונקציית ההלם $\ \delta[n]$ מוגדרת: $\ \delta[n]={\begin{cases} 1 & n=0 \\ 0 & n\ne0 \end{cases}}$

בתחום של עיבוד אותות ספרתיים יש חשיבות גדולה למערכות של משוואות לינאריות בזמן בדיד וקבועות בזמן (בקירוב, כיוון שמובן שתגובת המערכת שאותה אנו בונים שונה לפני ואחרי הפעלת המערכת...). הסיבה לחשיבותן של משוואות אלו היא שניתן לממש אותן באופן מעשי באמצעות מעבדים ספרתיים (שהם נפוצים מאוד) ותוכנה, או שלצורך יישומים מהירים במיוחד באמצעות חומרה ספרתית יעודית.