מצב קוונטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מצב קוונטי הוא כל אחד מהמצבים האפשריים של מערכת קוונטית. תיאור של מצב קוונטי יכול להיכתב כוקטור מצב, פונקציית גל או כמטריצת צפיפות.

תוכן עניינים

1 סימוני דיראק
2 מצבי בסיס
3 מצבים טהורים ומעורבים
4 ראו גם

[עריכה] סימוני דיראק

פול דיראק פיתח צורת כתיבה מתמטית חזקה ואינטואיטיבית לתאור מצבים קוונטיים. לדוגמה, ניתן להתייחס אל <מצב יסוד| ואל <מצב מעורר| של חלקיק בעל ספין חצי up המסומן כ- $|\!\!\uparrow\rangle$ ומצב down המסומן כ- $|\!\!\downarrow\rangle$ בהתאמה (שימו לב כי מצב $|\!\!\uparrow\rangle$ הוא המצב שמקובל להתייחס אליו כמצב יסוד) . בכך ניתן לפשט את התיאור המתמטי הסבוך הנחשף כאשר המצב נכתב (מוטל) בבסיס קואורדינטות כלשהו. לדוגמה, הסימון הפשוט $| 1s \rangle$ מתאר את מצב היסוד של אטום המימן. ביטוי פשוט זה הופך לפונקציה מורכבת בצורת פולינומי לז'נדר והרמוניות כדוריות כאשר הוא מוטל על מרחב המקום $| r \rangle$ . תוצאת הביטוי $\psi (r)=\langle r | 1s \rangle$ הידוע בשם פונקציית הגל הינו הצגה מיוחדת של של המצב בקוונטי. במקרה זה, הצגה בבסיס המקום. הצגות נוספות, כגון הטלה על מרחב התנע. ההצגות השונות הינן בסך הכול תיאורים שונים של המצב הקוונטי. צורת הסוגריים הימניים , $| \; \rangle$ , קרויה Ket והשמאליים , $\langle\; |$ , קרויה Bra (מהמילה האנגלית לסוגריים - Brackets). כאשר $\langle\psi |$ מייצג את הצמוד המרוכב של $| \psi \rangle$ .

[עריכה] מצבי בסיס

ניתן לבטא כל מצב קוונטי $|\psi\rangle$ כצירוף לינארי (סופרפוזיציה) של מצבי בסיס $|k_i\rangle$

$| \psi \rangle = \sum_i c_i | k_i \rangle$

כאשר $\ c_i$ הם הקבועים המייצגים את המשרעת (אמפליטודה), כאשר ריבוע הערך המוחלט של האמפליטודה, $\left | c_j \right | ^2$ הינו ההסתברות שבמדידה בבסיס $|k_i\rangle$ המערכת תימצא במצב $\ k_j$ תנאי הנירמול מכתיב שסכום ההסתברויות יהיה $\sum_i \left | c_i \right | ^2 = 1$ .

בסיס פשוט להבנה הינו הבסיס העולה מחקר מתנדים הרמוניים קוונטיים. במערכת זו לכל מצב בסיס $|n\rangle$ יש אנרגיה

$E_n = \hbar \omega \left(n + {\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}}\right)$ .

את שאר מצבי הבסיס ניתן לקבל על ידי אופרטור יצירה $\ a^{\dagger}$ ואופרטור השמדה $\ a$ בדרך הבאה

$a^{\dagger}|n\rangle=c_{n,n+1}|n+1\rangle, a|n\rangle=c_{n,n-1}|n-1\rangle$

כאשר $\ c_{n,n\pm 1}$ הם קבועים שחישובם נעשה מתוך שיקולי נירמול.

[עריכה] מצבים טהורים ומעורבים

מצב טהור הוא מצב שניתן לתיאור כוקטור אחד, או סכום של וקטורי בסיס. מצב מעורב הוא מצב המורכב מהתפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים כלומר שמצב אינו סופרפוזיציה של מצבי בסיס, אלא אחד מהתפלגות סטטיסטית של מצבים.

ערך התוחלת $\ \langle a \rangle$ של גודל מדיד $\ A$ עבור מערכת במצב טהור $\ |\psi\rangle$ ניתן על ידי

כאשר $\ |\alpha_i\rangle$ הם מצבים עצמיים של האופרטור $\ A$ , ו- $\ P(\alpha_i)$ היא ההסתברות שבמדידת מערכת במצב $\ | \psi \rangle$ , תוצאת המדידה תהא $\ |\alpha_i\rangle$ .

בכדי לתאר התפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב מעורב, יש להשתמש במטריצת צפיפות, $\ \rho$ . בכך מורחבת מכניקה קוונטית למכניקה סטטיסטית קוונטית. מטריצת צפיפות מוגדרת כך:

$\ \rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |$

כאשר $\ p_s$ הוא שבר של כל צבר במצב $\ |\psi_s\rangle$ . הממוצע מעל הצבר של מדידת הגודל $A$ על המערכת במצב מעורב הוא:

$\left [ A \right ] = \langle \overline{A} \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)$

כאשר חשוב לשים לב ששני סוגי ממוצעים מתרחשים כאן, האחד הוא הממוצע מעל הבסיס הווקטורי של המצבים הטהורים, והשני הוא הממוצע הסטטיסטי מעל הצבר של המצבים הטהורים.