משוואה ממעלה רביעית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה $\ x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ כאשר $\ a,b,c,d$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). אם השדה ממאפיין שונה מ- 2, אפשר להציב $\ x=y-a/4$ ולקבל משוואה ממעלה רביעית שבה המקדם של $\ y^3$ הוא אפס.

[עריכה] היסטוריה

את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא לודוביצ'י פררי (Ludovici Ferrari) האיטלקי, בשנת 1545, כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון למשוואה ממעלה שלישית. בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של תקופת הרנסאנס שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו. יותר ממאתיים שנה חלפו עד שאווריסט גלואה הניח את היסודות לתורת גלואה, שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על-ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש), לבין משוואות ממעלה נמוכה יותר.

[עריכה] פתרון משוואה ממעלה רביעית

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של $\ x^3$ במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה $\ x^4 + p x^2 + q x + r = 0$ . ננסה לפרק את הפולינום למכפלה של שני גורמים ממעלה שנייה: $\ x^4 + p x^2 + q x + r = (x^2 + A x + B)(x^2 - A x +C)$ . מהשוואת המקדמים מתקבל $\ B+C-A^2 = p,\ A(C-B)=q, BC = r$ , ובפרט $\ B+C=p+A^2$ ו- $\ C-B=q/A$ . אם נחבר ונחסר את השוויונים האלה, נקבל $\ C=(p+A^2+q/A)/2$ ו- $\ B=(p+A^2-q/A)/2$ , ומן השוויון על r נובע $\ (p+A^2)^2-q^2/A^2 = 4r$ , וזו משוואה ממעלה שלישית בנעלם $A 2$ . לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את B ו- C, ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על-ידי פתרון משוואה ממעלה שנייה.

מעניין לציין שהפתרון דורש הוצאות שורש בסדר הבא: ראשית, יש לפתור משוואה ממעלה שלישית (ולשם כך יש להוציא שורש שני, ואז שורש שלישי). אחר כך מוציאים שורש שני (כדי לקבל את A), ושורש שני נוסף (כדי לקבל את השורש x). המספרים 2,3,2,2 עומדים בהתאמה לסדרים של גורמי ההרכב של החבורה הסימטרית מסדר 4 (ראו חבורה פתירה), ומדגימים את הקשר בין תת-השדות של שדה פיצול לתת-החבורות של חבורת גלואה (ראו תורת גלואה).