Általános magasságtétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az általános magasságtétel az euklideszi geometria egyik elemi tétele, mely egy háromszög magasságát az oldalak (négyzetgyök-kifejezést tartalmazó) függvényében adja meg; kimondja, hogy egy háromszög három oldalának ismeretében kiszámítható a háromszög bármelyik magassága. Az általános magasságtételt egyébként a derékszögű háromszögekre vonatkozó magasságtételtől való megkülönböztetés érdekében mondjuk „általánosnak”.

Például ha a háromszögoldalak $a, b, c$ $\left( \in \mathbb{R}^{+} \right)$ , akkor a $c$ oldalhoz tartozó magasságot az alábbi tört alakú képlet adja meg:

$m_{c} = \frac{ \sqrt{a+b+c} \cdot \sqrt{-a+b+c} \cdot \sqrt{a-b+c} \cdot \sqrt{a+b-c} }{2c} =$

$= \frac{ \sqrt{ \left( a+b+c \right) \left( -a+b+c \right) \left( a-b+c \right) \left( a+b-c \right) } }{2c}$

amely mindig értelmes, nem negatív valós szám; tetszőleges $a,b,c \le 0$ számokra ugyanis a háromszög-egyenlőtlenség miatt a gyökjelek alatti kifejezések nemnegatívak. Hasonlóan lehet a többi oldalhoz tartozó magasságot is kiszámítani, csak a képlet nevezőjében nem a $c$ , hanem a megfelelő oldallal kell osztani.

Szavakban megfogalmazva, egy háromszög adott oldalhoz tartozó magasságát úgy számíthatjuk ki, hogy a három oldal összegét megszorozzuk az oldalak olyan előjeles összegeivel, melyekben mindig pontosan egy oldal -1, a többi +1 együtthatóval szerepel, az így kapott négytényezős szorzatból négyzetgyököt vonunk, és osztjuk az adott oldal kétszeresével. Figyeljük meg, hogy a törtképlet számlálója nem függ attól, épp melyik oldalhoz tartozó magasságot számítjuk: a számláló az $a, b, c$ paraméterekre nézve teljesen szimmetrikus. Ennek így is kell lennie, hisz ha jobban megnézzük (pontosabban c-vel szorzunk és osztunk 2-vel), a számláló a háromszög területének a négyszerese.

Az általános magasságtétel – amely tompaszögű háromszögekre ugyanúgy érvényes, mint a hegyesszögűekre és a derékszögűekre – bizonyítása a Pithagorasz-tételen alapulhat; és egyik fontos matematikai alkalmazását a Héron-képlet levezetésében találjuk, mely utóbbi bizonyítása az általános magasságtételből tulajdonképp csak annyi, hogy egy új változót vezetünk be (az $s = \frac{ (a+b+c) }{2}$ félkerületet).

[szerkesztés] Lásd még

Dr. Gerőcs László: Irány az egyetem! – 1995. Példatár. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1995. ISBN 9631861880 E könyvben a Pithagorasz-tételre alapozó bizonyítás is megtalálható.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../%C3%A1/l/t/%C3%81ltal%C3%A1nos_magass%C3%A1gt%C3%A9tel.html"

Kategóriák: Geometria | Matematikai tételek

Általános magasságtétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Lásd még

Views

Navigáció

Keresés