Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Háromszög - Wikipédia

Háromszög

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A geometriában a háromszög olyan sokszög, aminek három oldala, másként fogalmazva három csúcsa van.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Osztályozás

A háromszögeket csoportokba oszthatjuk oldalaik egymáshoz viszonyított hossza szerint:

  • Az egyenlőoldalú háromszög minden oldala azonos hosszúságú. Egyben minden belső szöge is ugyanakkora, mégpedig 60°; szabályos sokszög. [1]
  • Az egyenlőszárú háromszögnek legalább két oldala azonos hosszúságú. Egyben két belső szöge is ugyanakkora (az alapon fekvő szögek). [2]
  • Az általános háromszög minden oldala különböző hosszú, és belső szögei is különbözőek.
Egyenlőoldalú háromszög Egyenlőszárú háromszög Általános háromszög
Egyenlőoldalú Egyenlőszárú Általános

A háromszögek csoportosíthatók legnagyobb belső szögük mérete szerint is:

  • A derékszögű háromszögnek van egy 90°-os belső szöge (egy derékszög). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak, a másik két oldalt befogóknak nevezzük.
  • A tompaszögű háromszögnek van egy 90°-nál nagyobb belső szöge (egy tompaszög).
  • A hegyesszögű háromszögnek mindhárom oldala 90°-nál kisebb (három hegyesszög).
Derékszögű háromszög Tompaszögű háromszög Hegyesszögű háromszög
Derékszögű Tompaszögű Hegyesszögű

[szerkesztés] Elemi tények

A háromszögekre vonatkozó alapvető tényeket már Euklidesz lefektette Elemek c. művének 1-4. könyvében Kr. e. 300 körül.

A háromszög egy sokszög, és egy 2-simplex (lásd politóp). Minden háromszög kétdimenziós.

Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha létezik olyan megfeleltetés, ahol a szögeik megegyeznek. Ebben az esetben megfelelő oldalaik aránya is megegyezik. Ebből következően két háromszög hasonló, hogyha létezik olyan megfeleltetés, amelyben:

  1. két megfelelő szögük megegyezik,
  2. két megfelelő oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik,
  3. megfelelő oldalaik aránya megegyezik,
  4. megegyeznek két nagyobbik oldal arányában és a szemközti szögben.

Derékszögű háromszögeket és a hasonlóság fogalmát felhasználva definiálhatjuk a szinusz és koszinusz trigonometriai függvényeket.

A továbbiakban tekintsünk adottnak egy ABC háromszöget, α, β és γ szögekkel és a, b, c oldalakkal. Az A csúccsal szemközti oldal az a, a B-vel a b, a C-vel a c.

Egy háromszög oldalai, csúcsai és szögei
Egy háromszög oldalai, csúcsai és szögei
A Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tétel

Az euklideszi geometriában a háromszög belső szögeinek összege (α + β + γ) megegyezik a derékszög kétszeresével (180° vagy π radián). Ebből következik, hogy a háromszög két szögének ismeretében meg lehet határozni a harmadikat.

Egy fontos tétel a Pitagorasz-tétel, ami kimondja, hogy bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a két befogó négyzetének összegével. Ha c az átfogó, a tétel az alábbi alakban írható le:

c^2 = a^2 + b^2 \,

Ami azt is jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármelyik két oldalából meg lehet határozni a harmadik oldalt. A Pitagorasz-tétel általánosítása a koszinusztétel:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma \,

ami minden háromszögre igaz, nem csak abban az esetben, ahol γ derékszögű. A koszinusztétel lehetővé teszi a háromszög szögeinek és oldalainak meghatározását, ha ismert a háromszög három oldala, vagy két oldal és az általuk közrefogott szög.

A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben, bármely két oldal aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával, továbbá a körülírt kör átmérőjének reciprokával:

\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d

ahol d a körülírt kör (a mindhárom csúcson áthaladó kör) átmérője. A szinusztételt fel lehet használni a háromszög oldalainak meghatározására két szög és egy oldal ismeretében. Ha két oldal és egy nem meghatározott helyű szög adott, a szinusztétel akkor is használható; ebben az esetben 0, 1 vagy 2 megoldás lehetséges.

Van két különleges, a geometriában gyakran előforduló derékszögű háromszög. A "45-45-90 háromszögnek" az említett nagyságű szögei vannak, oldalainak aránya: 1:1:\sqrt{2}. A "30-60-90 háromszög" oldalainak aránya 1:\sqrt{3}:2.

[szerkesztés] A háromszöghöz kapcsolódó nevezetes pontok, egyenesek és körök

A háromszögnek több száz, bizonyos szempontból egyedi pontját meg lehet szerkeszteni: a külső hivatkozások között megtalálható ezek katalógusa. Ezek a pontok gyakran három, a csúcsokkal valamilyen szimmetriát mutató egyenes közös metszéspontjai: a közös metszéspont létezésének bizonyításához használható segédeszköz pl. a Ceva-tétel. Hasonlóan, a háromszög nevezetes egyeneseit gyakran három, valamilyen szimmetriát felhasználva megszerkesztett pont határozza meg, amelyek egy egyenesbe esnek: itt pl. a Menelaosz-tétel segítségével lehet bizonyítani az egyenes létezését. Ebben a szakaszban csak néhány fontosabb szerkesztés kerül említésre.

A köréírt kör középpontja a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.
A köréírt kör középpontja a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.

A háromszög felező merőlegesei olyan egyenesek, amik átmennek egy oldal felezőpontján és merőlegesek az oldalra. A három felező merőleges egy pontban találkozik, a háromszög köréírt körének középpontjában. A köréírt kör átmérője megtalálható a fentebb említett szinusztételben.

A Thalész-tétel kimondja, hogy ha a háromszög köré írt kör középpontja valamelyik oldalon van rajta, akkor a szemközti szög derékszög. Ennél többet is tudunk: ha a középpont a háromszög belsejében van, a háromszög hegyesszögű, ha kívül van a háromszögön, akkor a háromszög tompaszögű.

A magasságpont a magasságvonalak metszéspontja
A magasságpont a magasságvonalak metszéspontja

A háromszög magasságvonalán a csúcspontot a szemközti oldallal derékszögben összekötő vonalat értjük. Ezt a szemközti oldalat a magasság alapjának, a magasságvonal és az alap metszéspontját a magasság talppontjának nevezzük. A magasságvonal hossza a csúcspont és az alap közötti távolsággal egyenlő. A három magasságvonal egy pontban metszi egymást, a háromszög magasságpontjában. A magasságpont akkor és csak akkor van a háromszög belsejében, ha a háromszög nem tompaszögű. A három csúcspont és a magasságpont olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont.

A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt kör középpontja.
A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt kör középpontja.

A háromszög szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget kettéosztja. A szögfelező minden pontja a szög melletti oldalaktól egyenlő távolságra van. A három szögfelező egy pontban metszi egymást, a beírt kör középpontjában. A beírt kör a háromszög belsejében található kör, ami mindhárom oldalt belülről érinti. A külső szögfelezők metszéspontjaiban találhatók másik három fontos kör, a háromszög hozzáírt köreinek a középpontja. A hozzáírt körök a háromszögön kívül helyezkednek el, egy-egy oldalt, és a másik két oldal meghosszabbításait érintik. A hozzáírt körök középpontjai a beírt kör középpontjával olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont. Mivel a beírt kör és a három hozzáírt kör mindegyike mindhárom oldalt érinti, ezért a négy kört néha tritangens köröknek is szokták nevezni.


A háromszög súlypontja.
A háromszög súlypontja.

A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz, ami a háromszög két egyenlő területű részre bontja. A három súlyvonal egy pontban metszi egymást, a metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont egyben a háromszög tömegközéppontja is: ha a háromszöget pl. fából legyártanánk, a súlypontot vagy az egész súlyvonalat alátámasztva egyensúlyban lenne. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat úgy, hogy a csúcstól fekszik távolabb.

A Feuerbach-körön a háromszög hat nevezetes pontja is megtalálható.
A Feuerbach-körön a háromszög hat nevezetes pontja is megtalálható.

A háromszög oldalfelező pontjai és a háromszög magasságainak talppontjai mind egy körön fekszenek, a háromszög Feuerbach-körén vagy a „kilenc pont körén”. A maradék három pontot a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai adják.

A Feuerbach-kör sugara éppen a fele a körülírt kör sugatának. Érinti a beírt kört a Feuerbach-pontban, és a három hozzáírt kört.


Az Euler-egyenes a súlyponton (narancs), magasságponton (kék), a körülírt kör középpontján (zöld) és a Feuerbach-kör középpontján (vörös).
Az Euler-egyenes a súlyponton (narancs), magasságponton (kék), a körülírt kör középpontján (zöld) és a Feuerbach-kör középpontján (vörös).

A súlypont (sárga), magasságpont (kék), a körülírt kör középpontja (zöld) és a Feuerbach-kör középpontja (vörös pont) egy egyenesbe esnek, amit Euler-egyenesnek (vörös színnel) neveznek. A Feuerbach-kör középpontja a magasságpont és a körülírt kör középpontja közti távolságot felezi, a Feuerbach-kör középpontja és a körülírt kör középpontja közti szakasz pedig feleakkora, mint a Feuerbach-kör középpontja és a magasságpont közötti rész.

A beírt kör középpontja általában nincs az Euler-egyenesen.


[szerkesztés] Külső hivatkozások

Sokszögek
Háromszög | Négyszög | Ötszög | Hatszög | Hétszög | Nyolcszög | Kilencszög | Tízszög | Tizenegyszög | Tizenkétszög | Tizenötszög | Tizenhatszög

-->

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu