Háromszög
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A geometriában a háromszög olyan sokszög, aminek három oldala, másként fogalmazva három csúcsa van.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Osztályozás
A háromszögeket csoportokba oszthatjuk oldalaik egymáshoz viszonyított hossza szerint:
- Az egyenlőoldalú háromszög minden oldala azonos hosszúságú. Egyben minden belső szöge is ugyanakkora, mégpedig 60°; szabályos sokszög. [1]
- Az egyenlőszárú háromszögnek legalább két oldala azonos hosszúságú. Egyben két belső szöge is ugyanakkora (az alapon fekvő szögek). [2]
- Az általános háromszög minden oldala különböző hosszú, és belső szögei is különbözőek.
 |
 |
 |
| Egyenlőoldalú | Egyenlőszárú | Általános |
A háromszögek csoportosíthatók legnagyobb belső szögük mérete szerint is:
- A derékszögű háromszögnek van egy 90°-os belső szöge (egy derékszög). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak, a másik két oldalt befogóknak nevezzük.
- A tompaszögű háromszögnek van egy 90°-nál nagyobb belső szöge (egy tompaszög).
- A hegyesszögű háromszögnek mindhárom oldala 90°-nál kisebb (három hegyesszög).
 |
 |
 |
| Derékszögű | Tompaszögű | Hegyesszögű |
[szerkesztés] Elemi tények
A háromszögekre vonatkozó alapvető tényeket már Euklidesz lefektette Elemek c. művének 1-4. könyvében Kr. e. 300 körül.
A háromszög egy sokszög, és egy 2-simplex (lásd politóp). Minden háromszög kétdimenziós.
Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha létezik olyan megfeleltetés, ahol a szögeik megegyeznek. Ebben az esetben megfelelő oldalaik aránya is megegyezik. Ebből következően két háromszög hasonló, hogyha létezik olyan megfeleltetés, amelyben:
- két megfelelő szögük megegyezik,
- két megfelelő oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik,
- megfelelő oldalaik aránya megegyezik,
- megegyeznek két nagyobbik oldal arányában és a szemközti szögben.
Derékszögű háromszögeket és a hasonlóság fogalmát felhasználva definiálhatjuk a szinusz és koszinusz trigonometriai függvényeket.
A továbbiakban tekintsünk adottnak egy ABC háromszöget, α, β és γ szögekkel és a, b, c oldalakkal. Az A csúccsal szemközti oldal az a, a B-vel a b, a C-vel a c.
Az euklideszi geometriában a háromszög belső szögeinek összege (α + β + γ) megegyezik a derékszög kétszeresével (180° vagy π radián). Ebből következik, hogy a háromszög két szögének ismeretében meg lehet határozni a harmadikat.
Egy fontos tétel a Pitagorasz-tétel, ami kimondja, hogy bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a két befogó négyzetének összegével. Ha c az átfogó, a tétel az alábbi alakban írható le:
Ami azt is jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármelyik két oldalából meg lehet határozni a harmadik oldalt. A Pitagorasz-tétel általánosítása a koszinusztétel:
ami minden háromszögre igaz, nem csak abban az esetben, ahol γ derékszögű. A koszinusztétel lehetővé teszi a háromszög szögeinek és oldalainak meghatározását, ha ismert a háromszög három oldala, vagy két oldal és az általuk közrefogott szög.
A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben, bármely két oldal aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával, továbbá a körülírt kör átmérőjének reciprokával:
ahol d a körülírt kör (a mindhárom csúcson áthaladó kör) átmérője. A szinusztételt fel lehet használni a háromszög oldalainak meghatározására két szög és egy oldal ismeretében. Ha két oldal és egy nem meghatározott helyű szög adott, a szinusztétel akkor is használható; ebben az esetben 0, 1 vagy 2 megoldás lehetséges.
Van két különleges, a geometriában gyakran előforduló derékszögű háromszög. A "45-45-90 háromszögnek" az említett nagyságű szögei vannak, oldalainak aránya: 
. A "30-60-90 háromszög" oldalainak aránya 
.
[szerkesztés] A háromszöghöz kapcsolódó nevezetes pontok, egyenesek és körök
A háromszögnek több száz, bizonyos szempontból egyedi pontját meg lehet szerkeszteni: a külső hivatkozások között megtalálható ezek katalógusa. Ezek a pontok gyakran három, a csúcsokkal valamilyen szimmetriát mutató egyenes közös metszéspontjai: a közös metszéspont létezésének bizonyításához használható segédeszköz pl. a Ceva-tétel. Hasonlóan, a háromszög nevezetes egyeneseit gyakran három, valamilyen szimmetriát felhasználva megszerkesztett pont határozza meg, amelyek egy egyenesbe esnek: itt pl. a Menelaosz-tétel segítségével lehet bizonyítani az egyenes létezését. Ebben a szakaszban csak néhány fontosabb szerkesztés kerül említésre.
A háromszög felező merőlegesei olyan egyenesek, amik átmennek egy oldal felezőpontján és merőlegesek az oldalra. A három felező merőleges egy pontban találkozik, a háromszög köréírt körének középpontjában. A köréírt kör átmérője megtalálható a fentebb említett szinusztételben.
A Thalész-tétel kimondja, hogy ha a háromszög köré írt kör középpontja valamelyik oldalon van rajta, akkor a szemközti szög derékszög. Ennél többet is tudunk: ha a középpont a háromszög belsejében van, a háromszög hegyesszögű, ha kívül van a háromszögön, akkor a háromszög tompaszögű.
A háromszög magasságvonalán a csúcspontot a szemközti oldallal derékszögben összekötő vonalat értjük. Ezt a szemközti oldalat a magasság alapjának, a magasságvonal és az alap metszéspontját a magasság talppontjának nevezzük. A magasságvonal hossza a csúcspont és az alap közötti távolsággal egyenlő. A három magasságvonal egy pontban metszi egymást, a háromszög magasságpontjában. A magasságpont akkor és csak akkor van a háromszög belsejében, ha a háromszög nem tompaszögű. A három csúcspont és a magasságpont olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont.
A háromszög szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget kettéosztja. A szögfelező minden pontja a szög melletti oldalaktól egyenlő távolságra van. A három szögfelező egy pontban metszi egymást, a beírt kör középpontjában. A beírt kör a háromszög belsejében található kör, ami mindhárom oldalt belülről érinti. A külső szögfelezők metszéspontjaiban találhatók másik három fontos kör, a háromszög hozzáírt köreinek a középpontja. A hozzáírt körök a háromszögön kívül helyezkednek el, egy-egy oldalt, és a másik két oldal meghosszabbításait érintik. A hozzáírt körök középpontjai a beírt kör középpontjával olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont. Mivel a beírt kör és a három hozzáírt kör mindegyike mindhárom oldalt érinti, ezért a négy kört néha tritangens köröknek is szokták nevezni.
A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz, ami a háromszög két egyenlő területű részre bontja. A három súlyvonal egy pontban metszi egymást, a metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont egyben a háromszög tömegközéppontja is: ha a háromszöget pl. fából legyártanánk, a súlypontot vagy az egész súlyvonalat alátámasztva egyensúlyban lenne. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat úgy, hogy a csúcstól fekszik távolabb.
A háromszög oldalfelező pontjai és a háromszög magasságainak talppontjai mind egy körön fekszenek, a háromszög Feuerbach-körén vagy a „kilenc pont körén”. A maradék három pontot a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai adják.
A Feuerbach-kör sugara éppen a fele a körülírt kör sugatának. Érinti a beírt kört a Feuerbach-pontban, és a három hozzáírt kört.
A súlypont (sárga), magasságpont (kék), a körülírt kör középpontja (zöld) és a Feuerbach-kör középpontja (vörös pont) egy egyenesbe esnek, amit Euler-egyenesnek (vörös színnel) neveznek. A Feuerbach-kör középpontja a magasságpont és a körülírt kör középpontja közti távolságot felezi, a Feuerbach-kör középpontja és a körülírt kör középpontja közti szakasz pedig feleakkora, mint a Feuerbach-kör középpontja és a magasságpont közötti rész.
A beírt kör középpontja általában nincs az Euler-egyenesen.
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről
- Triangle Calculator – solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
- Napoleon's theorem A triangle with three equilateral triangles. A purely geometric proof. It uses the Fermat point to prove Napoleon's theorem without transformations by Antonio Gutiérrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
- William Kahan: Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle.
- Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 1600 interesting points associated with any triangle.
- Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
- Triangle constructions, remarkable points and lines, and metric relations in a triangle at cut-the-knot
- Printable Worksheet on Types of Triangles
- Compendium Geometry Analytical Geometry of Triangles
| Sokszögek |
|---|
| Háromszög | Négyszög | Ötszög | Hatszög | Hétszög | Nyolcszög | Kilencszög | Tízszög | Tizenegyszög | Tizenkétszög | Tizenötszög | Tizenhatszög |
-->
Based on work by