Pitagorasz-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása. Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt, és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.

Tartalomjegyzék 1 A tétel 2 A tétel megfordítása 3 A tétel szemléletes bizonyítása 4 Általánosítások 5 Megjegyzések 6 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A tétel

Minden derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. Tehát: ha egy háromszög derékszögű, akkor a leghosszabb oldalára emelt négyzet területe a másik két oldalra emelt négyzetek területének összegével egyenlő.

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): a² + b² = c²

A Pitagorasz-tétel másik megfogalmazása:

Tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével.

[szerkesztés] A tétel megfordítása

(nem azonos magával a Pitagorasz-tétellel):

Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Ugyanez más megfogalmazásban:

Ha a, b és c pozitív számokra igaz, hogy a² + b² = c², akkor van olyan háromszög, amelynek ekkorák az oldalai, és a háromszög derékszögű (c az átfogó).

[szerkesztés] A tétel szemléletes bizonyítása

A fenti képről leolvasható a tétel bizonyítása. Mindkét nagy négyzet egyenlő területű, tehát ha mindkét oldalon elhagyjuk az azonos területű 4-4 háromszöget, akkor a maradék területének is egyeznie kell. Baloldalt két, jobboldalt egy négyzet marad, amelyek területe az egyenlet bal, illetve jobb oldalát adják.

Felhasználtuk, hogy

1. a háromszögek területe egyezik, mivel két oldaluk (a és b) illetve az általuk közbezárt szögek megegyeznek,
2. a jobb oldalon lévő rombusz (minden oldala c) négyzet, mivel minden szöge 90° ( 180°-(α+β), ahol α,β az ábrán lévő derékszögű háromszögek hegyesszögei  ), tehát szögei megegyeznek, tehát derékszögek.

Ez a bizonyítás Pitagorasz tételét és nem annak megfordítását bizonyítja.

A tételt igazlhatjuk a befogótétel segítségével is. Ossza az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót x és y hosszúságú darabokra! Ekkor, ha a befogók a; b és az átfogó c, akkor a² = cx és b² = cy a két egyenletet összeadva a² + b² = c(x + y) = c²

[szerkesztés] Általánosítások

• A Pitagorasz-tétel fontos általánosítása a Tabit-tétel, ami az arab ibn Tabit nevéhez fűződik, és átvezet a tétel másik fontos általánosítása, a koszinusztétel felé.

• Érdekes folyománya a Pitagorasz-tétel a Ptolemaiosz-tételnek: A húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatainak összegével, azaz ef=ac+bd. Ha az átlók egyenlők egymással, és a szemköztes oldalak is egyenlők, azaz e=f, a=c és b=d, akkor a húrnégyszögből téglalap lesz, és a Ptolemaiosz-tétel pontosan a Pitagorasz-tétel formáját veszi föl.

[szerkesztés] Megjegyzések

• A geometria által vizsgált euklideszi tér leggyakoribb modellje a valós számhármasok tere, a geometria e modellre épülő felépítésében a Pitagorasz-tétel axiómaként (pontosabban, az euklideszi metrika definíciójaként) része a geometria alapvetésének.
• Történeti és didaktikai kiegészítés: Pithagorasz valószínűleg az átfogóra emelt négyzetekre vonatkozó egyenlőségként mondta ki a tételt, és talán tőle került bele ilyen formájában az Elemekbe. Tehát a görögök úgy gondolták, a Pitagorasz-tétel elsősorban területek egyenlőségét mondja ki. A hagyományos iskolai anyagban azonban egész más formájában, mint az oldalak hosszúságának négyzetére vonatkozó tétel szerepel, de bizonyítását mégis az itt közölt egyszerű átdarabolásos bizonyításhoz hasonló ún. "hindu bizonyítás" formájában szokás elvégezni. Ez a szó szoros értelmében, matematikailag nem helytelen, de mindenesetre sok kérdést vet fel, és szoros kapcsolatban van a szakaszok összemérhetetlenségének elméletével.
• A görögök közül tényleg sokan elhitték, hogy Pithagorasz fedezte fel az illető tételt. Egyik történetírójuk szerint amikor felfedezte, örömében száz ökröt áldozott az isteneknek. Ez azonban nagyon valószínűtlen, mivel a pithagoreusok nemcsak a lélekvándorlásban hittek, hanem, akárcsak a hinduk és buddhisták, abban is, hogy a halál után az emberi lélek állatokba is költözhet, ezért tartózkodtak az állatok öldöklésétől.
• A Pitagorasz-tételnek sokféle bizonyítása ismeretes, egy angol nyelvű honlap pl. több mint negyven bizonyítást sorol fel, de az ismert bizonyítások száma a százat is elérheti. Persze az elemi matematikában mindig kérdés, hogy egy adott bizonyítás mire alapoz, pl. nem olyan állításokra-e, melyek közt már ott van maga a Pitagorasz-tétel is (ami eme tétel igen fontos szerepe miatt, mivel "mindenben ott van", nem zárható ki).

[szerkesztés] Külső hivatkozások

• Java interaktív animációk
• [1]