Impulzusmomentum

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az impulzusmomentum vagy magyarosabban perdület egy fizikai mennyiség.

Tartalomjegyzék

1 Impulzusmomentum a klasszikus mechanikában
- 1.1 Definíció
- 1.2 Az impulzusmomentum megmaradása
2 Impulzusmomentum a relativitáselméletben
3 Impulzusmomentum a (nemrelativisztikus) kvantummechanikában
4 Az impulzusmomentum algebrája
5 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Impulzusmomentum a klasszikus mechanikában

Összefüggés az erő (F), nyomaték (τ), valamint az impulzus (p) és az impulzusmomentum (L) között.

[szerkesztés] Definíció

Egy mozgó tömegpont impulzusmomentumát az alábbi kifejezés adja meg:

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ ,

ahol r a tömegpont valamely vonatkoztatási ponttól mért távolsága, p az impulzusa.

Több tömegpontra a teljes impulzusmomentum a részek impulzusmomentumainak eredője:

$\mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i$

A legtöbb esetben csak egy tengely körüli forgásokat vizsgálunk, ekkor az impulzusmomentum nagyságát a vektoriális szorzat definíciója alapján másképp is írhatjuk:

$L= \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p} = \pm |\mathbf{r}_{T}||\mathbf{p}|$ ,

ahol r_T az impulzusra merőlegesen mért távolság, az ún. erőkar. Gyakran hasznos előjeles mennyiségként értelmezni az impulzusmomentum nagyságát. Ha az r és p vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, akkor pozitív, ha balsodrásút, akkor negatív az előjel.

Kiterjedt testek esetén hasznos a tehetetlenségi nyomaték segítségével kifejezni L-et:

$\mathbf{L} = \underline{\underline{\Theta}}\mathbf{\omega}$ ,

ahol ω a test szögsebességvektora, Θ a tehetetlenségi nyomaték tenzor. Rögzített tengely körüli forgás esetén ezt az alábbi egyszerű alakban írhatjuk fel:

L = Θω

ahol ω a test (előjeles) szögsebessége, Θ a tehetetlenségi nyomatéka.

[szerkesztés] Az impulzusmomentum megmaradása

Ez a szakasz még csonk. Segíts te is a kibővítésében!

[szerkesztés] Impulzusmomentum a relativitáselméletben

Ez a szakasz még csonk. Segíts te is a kibővítésében!

[szerkesztés] Impulzusmomentum a (nemrelativisztikus) kvantummechanikában

A kvantummechanikában az impulzusmomentumot az impulzushoz hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

$\hat{\mathbf{L}} =\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}$

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

$\hat{\mathbf{L}} = -i\hbar (\mathbf{r} \times \nabla)$ ,

ahol r a részecske helye, $\nabla$ a gradiens operátor.

Az impulzusmomentum-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

$[L_i,L_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [L_i,L^2] =0$

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

$\left[L_i,H\right]=0$

Az impulzusmomentum-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordinátarendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

$L^2 = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$

L² és pl. L_z kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

$L^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle$

$L_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle$

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

$\langle \theta, \phi| l,m\rangle = Y_{l,m}(\theta,\phi)$

Mindez tulajdonképpen csak az impulzusmomentum egy része, az ún, pálya-impulzusmomentum vagy egyszerűen pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.