Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Königsbergi hidak - Wikipédia

Königsbergi hidak

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Königsberg térképe Euler idejében: kiemelve a Prégel folyó és a hidak elhelyezkedését.
Königsberg térképe Euler idejében: kiemelve a Prégel folyó és a hidak elhelyezkedését.

A königsbergi hidak problémája egy híres matematikai probléma, amit Leonhard Euler oldott meg. A probléma története, hogy a poroszországi Königsberg (most Kalinyingrád, Oroszország) városban hét híd ívelt át a várost átszelő Prégel folyón úgy, hogy ezek a folyó két szigetét is érintették. A königsbergiek azzal a kérdéssel fordultak Eulerhez, vajon végig lehet-e menni az összes hídon úgy, hogy mindegyiken csak egyszer haladjanak át, és egyúttal visszaérjenek a kiindulópontba. 1736-ban Euler bebizonyította, hogy ez lehetetlen.

A történethez hozzátartozik az a legenda is, hogy 1750 körül állítólag a königsbergi elit tagjai rendszeresen sétálgattak vasárnaponként a hidakon, hogy egy olyan útvonalat találjanak, amely megfelel a fenti feltételeknek.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Euler megoldása

A bizonyítás során Euler a problémát a gráfelmélet nyelvén fogalmazta meg, azaz leegyszerűsítette azt: a földeket, azaz a folyó partjait beleértve a szigeteket is csomópontoknak, a hidakat pedig éleknek tekintette a mai megfogalmazás szerint. Az így létrehozott csomópontok és élek pedig egy gráfot határoznak meg.

Euler észrevette, hogy a problémát az így létrehozott gráf csomópontjainak a fokszámára lehet visszavezetni. A csomópont fokszáma alatt az adott csomóponthoz csatlakozó élek számát értjük. A konkrét esetben a hidak elhelyezkedése alapján megalkotott gráfban három pontnak 3 a fokszáma, egynek pedig 5. Euler bebizonyította, hogy akkor és csak akkor létezik ebben az adott gráfban a hidakon pontosan egyszer végighaladó séta, ha minden csomópont fokszáma páros. A fenti feltételnek eleget tevő összefüggő gráfokat ma zárt Euler-vonalnak nevezzük, illetve egy zárt Euler-vonalnak, a fenti feltételnek megfelelő bejárását zárt Euler-sétának hívjuk. Mivel a königsbergi hidak gráfjában több páratlan fokszámú csúcspont is található, ezért Euler eredményéből következik, hogy nem lehet bejárni a königsbergi hidakat a fent megkövetelt módon.

Ha a kiinduló pontnak és a célpontnak nem kell azonosnak lennie, akkor nyitott Euler-vonalról, illetve nyitott Euler-sétáról beszélünk. Annak a feltétele, hogy egy gráf nyitott Euler-vonal legyen az, hogy összefüggő legyen, és pontosan kettő darab páratlan fokszámú csúcspontja legyen. Ebben az esetben a nyitott Euler-séta kiinduló és végpontja pontosan a két páratlan fokszámú pontja a gráfnak.

[szerkesztés] Matematikai jelentősége

A matematika történetében a königsbergi hidak problémáját, illetve ennek Euler-féle megoldását tartják az első gráfelméleti problémának. Azóta a gráfelmélet a kombinatorika egy önálló területévé vált.

Ezen túlmenően az, hogy Euler felismerte, hogy a probléma megoldásának a kulcsa a hidak, illetve pontosabban az egy partszakaszhoz kapcsolodó hidak számában, nem pedig ezek konkrét elhelyezkedésében keresendő, a topológiai szemlélet legkorábbi megjelenésének is tekinthető.

[szerkesztés] A königsbergi hidak napjainkban

A hét eredeti königsbergi híd közül kettőt leromboltak a második világháború alatt a szövetséges bombázásokban. Két további hidat később az oroszok egy modern főúttal helyettesítettek. A fennmaradó három híd megmaradt, jóllehet ezek közül csak kettő származik Euler idejéből, mert a harmadikat a németek még 1935-ben újjáépítették.).[1]

Gráfelméleti fogalmakkal élve a jelenlegi négy csúcspont közül kettőnek 2 a fokszáma, kettőnek pedig 3, így ma már elméletileg be lehetne járni a königsbergi hidakat, ha a kiinduló és végpontnak nem kell azonosnak lennie (Euler-vonal), azonban mivel a két páratlan fokszámú csúcspont pont a két szigeten helyezkedik el, így a bejárást az egyik szigeten kellene elkezdeni és a másikon befejezni, ami nem tűnik túl praktikus megoldásnak.[2]

[szerkesztés] Hivatkozások

  1. ^ What Ever Happened to Those Bridges?.
  2. ^ The 7/5 Bridges of Koenigsberg/Kaliningrad.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu