Kinematika

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A kinematika (mozgástan) a fizika azon részterülete, amelynek feladata a mozgások leírása. A mozgástant hagyományosan a mechanika tudományágába soroljuk, de feladata alapvetően matematikai jellegű. A mozgások leírása alatt azt értjük, hogy egy adott időpontban meghatározzuk egy test helyét, illetve helyzetét egy másik testhez képest.

A kinematika szó a görög κίνημα (kinima) szóból ered, amelynek jelentése mozgás, mozgatás.

Mivel a mozgások leírása matematikai feladat, elengedhetetlenek hozzá matematikai ismeretek (az általános iskolai tudásanyagon túl leginkább az analízis, és a lineáris algebra témaköréből). Ezen ismeretek teljes vagy részleges hiányában lehetetlen a szócikk teljes vagy egyes részleteinek megértése.

[szerkesztés] Kinematikai alapfogalmak

[szerkesztés] Vonatkoztatási rendszer, koordináta-rendszer

Fő szócikkek: Vonatkoztatási rendszer és Koordináta-rendszer

Ha egy egyenesen játszódik le minden megfigyelt mozgás, akkor nem feltétlenül foglalkoztat minket az egyenes térbeli elhelyezkedése. Ilyenkor az egyenesre illeszkedő A pont egyenesen elfoglalt helyének egyértelmű meghatározásához két adatra van szükség. Tudnunk kell milyen távol helyezkedik el az egyenes egy B pontjától, és hogy B pont által meghatározott félegyenesek közül melyikre illeszkedik. A pont síkbeli helyének meghatározásához három adat szükséges: milyen távol helyezkedik el A pont a sík B és C pontjaitól (ahol B és C nem esik egy pontba), és hogy a BC egyenes által meghatározott félsíkok közül melyikre illeszkedik. Ekképpen a térbeli elhelyezkedés egyértelmű megadásához négy adat szükséges: A pont távolsága az B, C, D nem egy egyenesbe eső pontoktól, és hogy a B, C, D pontok síkja által meghatározott térrészek közül melyikben helyezkedik el.
B, C, D pontokat vonatkoztatási pontoknak, a vonatkoztatási pontok összességét vonatkoztatási rendszernek nevezzük. A vonatkoztatási rendszereket szokás testekhez rögzíteni, így beszélhetünk például a Földhöz vagy a Naphoz rögzített vonatkoztatási rendszerről (előfordulhatnak tömegközéppontokhoz rögzített vonatkoztatási rendszerek, ezek nem feltétlenül vannak egy kiterjedt testhez rögzítve).

Az egyszerűbb helymeghatározás végett a vonatkoztatási pontokhoz rögzített koordináta-rendszert vezetünk be. A koordináta-rendszer olyan helyvektorok vektorrendszere, amelyben minden helyvektor egyben egységvektor. Egyenesen egy egységvektor felvétele elégséges, mert ennek a vektornak egy skalárral való lineáris kombinációjával, mindegyik az egyenesre illeszkedő vektor előállítható. Ezt a vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, mert minden helyvektor pontosan egyféle kombinációval állítható elő (azon helyvektorok, amelyek illeszkednek az egyenesre és kezdőpontjuk az egységvektor kezdőpontja). Egy síkban már két egységvektor vektorrendszerére van szükségünk, ha a két egységvektor nem reprezentálható egy egyenesben, de mindkettő illeszkedik a síkra, akkor vektorrendszerük lineárisan független. Térben három egységvektor vektorrendszere akkor alkot lineárisan független vektorrendszert, ha a három vektor nem reprezentálható egy síkban. Gyakorlatban legtöbbször olyan egységvektorokat választunk, amelyekben a vektorok páronként egymásra merőlegesek. Az ilyen három egységvektorból álló koordináta-rendszert Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszernek nevezzük. A három egységvektor szokásos elnevezése i, j, k. Azokat az egyeneseket, amelyek illeszkednek i, j, k helyvektorokra rendre x, y, z tengelyeknek nevezzük. Azon kívül, hogy i, j, k vektorok páronként merőlegesek egymásra, jobbsodrású rendszert alkotnak a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben. Ez azt jelenti, hogy az O pontból induló i, j, k helyvektorok úgy következnek, mint a jobb kéz hüvelyk, mutató és középső ujjai. Formális matematikai nyelven:

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$

Az O pontot origónak nevezzük.
A Descartes-féle koordináta-rendszeren kívül rengeteg más koordináta rendszer létezik, gondoljunk csak a földi helymeghatározásra, ahol szélességi és hosszúsági körök és a tengerszint feletti magasság segítségével alkotunk egy a Földhöz rögzített koordináta rendszert.
Fizikai problémák megoldásánál a másik leggyakrabban használt koordináta-rendszerben az úgynevezett polárkoordinátákkal adjuk meg egy test térbeli helyét.

[szerkesztés] Tömegpont

A tömegpont (anyagi pont) olyan test, amelynek méretei a vizsgált esetben elhanyagolhatóak, a felmerülő méretek és távolságokhoz képest nagyon kicsik. Ilyen például egy ember a Földhöz képest vagy akár a Föld a Naprendszer méreteihez képest.

[szerkesztés] Helyvektor, elmozdulásvektor, út, pálya

A koordináta-rendszer origójából a testhez (anyagi pont) húzott vektort a test helyvektorának nevezzük. Szokásos jelölése: r, fizikai dimenziója: dim r = L (hosszúság dimenziójú mennyiség). Ha a test mozog, akkor helyvektora az idő függvényében változik, ha mozdulatlan, akkor a helyvektora minden időpontban ugyanaz (két helyvektor egyenlő, ha irányuk és nagyságuk megegyezik). A helyvektort az idő függvényében így jelöljük: r (t). Ha $t 1$ időpontban a test helyvektora r ( $t 1$ ), és $t 2$ pillanatban r ( $t 2$ ), és $t 1$ < $t 2$ , akkor a test két időpont közötti elmozdulását a d $21$ elmozdulásvektor adja meg, amit következőképpen definiálunk: d $21$ =r ( $t 2$ ) – r ( $t 1$ ). Így az elmozdulásvektor hossza a test két időpontbeli helyzetének távolságával egyenlő, iránya megegyezik az egyes időpontbeli helytől a kettes időpontbeli helyig húzott vektor irányával.
Azt a görbét, amelynek minden pontján a tömegpont mozgása során végighalad, pályának nevezzük. Feltételezzük, hogy a pálya folytonos. A pálya minden pontpárjához tartozik legalább egy ívszakasz, amelynek minden pontján áthaladt a test, miközben egyes pontból kettesbe került. Minden időintervallumhoz tartozik egy ívszakasz, amelynek hossza a test által ebben az időintervallumban megtett úttal egyenlő, az ívszakasz húrja az elmozdulás nagyságával egyenlő. Az út szokásos jele: s, dimenziója: dim s = L, az út egy skalár. A pálya megadható grafikusan, koordináták táblázatával, vagy a pálya egyenletével. A pálya egyenlete olyan egyenlőség, amit csak a pálya pontjainak koordinátái elégítenek ki. A pálya görbületét egy pontban a ponthoz tartozó simulókör sugarának reciprokával definiáljuk. Az egyenes görbülete 0, szemléletesen: végtelen nagy sugarú kör simul az egyeneshez, és a sugár minden határon túli növelésével a görbület (ennek reciproka) nullához tart.

[szerkesztés] Anyagi pont mozgása

[szerkesztés] Sebesség, Sebességvektor

Fő szócikk: Sebesség

Az egydimenziós térben a kitérés-idő függvény megadásával meghatárazhutjuk egy test mozgását. Példa a zárt matematikai képlettel megadható kitérés-idő függvényre:

$x\left( t \right)=At+B$