Vektor

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.
Az ezen a lapon látható jelölés 2006 októberéből származik.

A vektor a matematika fontos fogalma. Vektorok pl. a rendezett számpárok, számhármasok stb., azaz a sík- illetve térbeli koordináták. A fizikai fogalmak közül vektor például az erő, a forgatónyomaték, a térerősség (mágneses, elektromos, gravitációs stb.)

A fogalom kevésbé általános, az elemi oktatásban használt, didaktikai megfontolásokból leegyszerűsített vagy specializált (így felsőbb matematikai szempontból elégtelennek tekinthető), a "vektorfogalom" meghatározásaként is előforduló példái a közkeletű megfogalmazások, mint pl. vektor az a mennyiség, aminek iránya is van vagy a vektorok irányított szakaszok.

Tartalomjegyzék

1 Általános leírás
2 Részletezés
3 A geometriában
4 Vektorműveletek
5 A fizikában
- 5.1 Példák
- 5.2 Lásd még
6 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Általános leírás

Vektorok a vektortérnek nevezett halmaz elemei. E halmaz megadásához az elemeken kívül egy másik halmazt is meg kell jelölni, amelynek elemeit skalároknak nevezzük. A vektorokra ugyanis az egymás közötti műveleteken kívül vektor-skalár műveleteket is értelmezünk. Ezért a fenti példákban szereplő vektorok terét szabatosan valós számok feletti vektortérnek kell nevezni. A skalárokat ezekben az esetekben a valós számok képviselik.

[szerkesztés] Részletezés

A vektorok V halmazában értelmezett egyetlen művelet az összeadás, amelyről megköveteljük, hogy asszociatív és kommutatív legyen, továbbá, hogy legyena halmazban neutrális elem – nullvektor – és minden elemnek legyen inverze – ellentett vektor. Az ilyen halmazt kommutatív csoportnak nevezik. A skalárok S halmaza ún. kommutatív test, amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, assszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additiv és multiplikativ inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy "külső művelet", a vektornak skalárral való szorzása. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:

Ha $α,β$ , 1 skalárok és u, v vektorok, akkor

$(α + β) u = α u + β u$
$α(u + v) = α u + α v$
$α(β u) = (αβ) u$
$1 u = u$

[szerkesztés] A geometriában

A legismertebb "geometriai" vektor az irányított szakaszok osztálya. Két (több) azonos hosszuságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (pl. két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: szabad vektorok.

A koordináta rendszerben értelmezett helyvektorok, azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. kötött vektorok.

Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér.

E "geometriai" vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor abszolútértékének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor normája, s ennek négyzetgyöke az abszolútértéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.

[szerkesztés] Vektorműveletek

A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: a-b = a+(-1.b). A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (pl. két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok skaláris szorzata: a.b = skalár, viszont két térvektor vektoriális szorzata: a×b = vektor és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor vegyes szorzata:(a×b).c e két művelet kombinációja, s eredménye skalár. Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: vektorkalkulus. A geometriai problémák megoldásában a vektoranalízis, a differenciálgeometria szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.

[szerkesztés] A fizikában

A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordinátarendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a matematikai vektor fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordinátarendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulszustérben ábrázolható. A két koordinátarendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az Euler-szögek jellemezzék. Ha a koordinátarendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai vektormennyiségnek nevezzük.

Ha a koordinátarendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség valódi vektor vagy egyszerűen vektor, ha nem, akkor pedig axiálvektor.