Konvex függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.
Az ezen a lapon látható jelölés 2006 novemberéből származik.

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex alakzat, azaz ha egy szakasz két végpont benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.

Egy az Rⁿ egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R² $\rightarrow$ R esetben) konvex.

[szerkesztés] Általános definíció

Az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az $I$ -ből és t ∈ [0,1]-re:

$f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\leq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)$

f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az $I$ -ből és t ∈ [0,1]-re:

$f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\geq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)$

Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.

A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.

[szerkesztés] Konvexitás és differenciálhatóság

Ha az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden $I$ -beli $x$ , $u$ számpár esetén

$f(x)\geq f(u)+f'(u)(x-u)$

illetve konkáv, ha minden $I$ -beli $x$ , $u$ számpár esetén:

$f(x)\leq f(u)+f'(u)(x-u)$

Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f - T_1,u^f ≧ 0 illetve f - T_1,u^f ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ $I$ pontnál).

Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő

Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).