Funzione convessa

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Sia $f: I \to \mathbb{R}$ una funzione a valori reali. Essa si dice convessa nel suo dominio $\,I\,$ se e solo se

$\forall x,y \in I , \forall \lambda \in [0,1]$ vale la seguente disuguaglianza: : $f(\lambda x + (1- \lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1- \lambda) f(y)$

Questa relazione viene chiamata disuguaglianza di convessità o disuguaglianza di Jensen. Se l'uguaglianza vale solo nel caso in cui $x = y$ oppure se $λ = 0$ o $λ = 1$ allora si parla di funzione strettamente convessa.

Nel caso di funzione convessa con dominio reale, dalla disuguaglianza si ricava facilmente che una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici dell'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione. Una funzione convessa è lipschitziana su ogni intervallo chiuso del dominio, in particolare risulta continua. Una funzione a valori reali si dice funzione concava se $- f$ è convessa.

Si può dare un'altra definizione analoga di convessità definendo come epigrafico di una funzione o (sopragrafico) come l'insieme $\operatorname{epi}f = \left \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y \geq f(x) \right \}$ . Se l'epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano allora la funzione è convessa.

Un'ulteriore definizione di convessità di una funzione sui reali: Sia $f: I \to \mathbb{R}$ con $I \in \mathbb{R}^{2}$ una funzione di derivate seconde continue, allora $f$ si dice convessa se la matrice hessiana $H f$ è semidefinita positiva; si dice strettemente convessa se $H f$ è definita positiva.

[modifica] Alcune caratterizzazioni

Una funzione $f$ continua in $I$ è convessa

se e solo se il rapporto incrementale $R_f(x,y)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ è crescente in entrambe le variabili ;
se e solo se $\forall x,y \in I ~:~ f \left (\frac{x+y}{2}\right ) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ ;
se e solo se ha derivate destra e sinistra definite su $I$ , crescenti, con $f'_{-}\leq f'_{+}$ .

Si dimostra facilmente che se $\displaystyle f$ è derivabile in $I$ essa è convessa se e solo se $\displaystyle f'(x)$ è crescente. In particolare, funzioni derivabili due volte sono convesse se e solo se