Pell-egyenlet
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Pell-egyenlet az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x2-dy2=1, ahol d>1 olyan egész szám, ami nem négyzetszám és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.
[szerkesztés] A Pell-egyenletek megoldása
Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor 
irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy
Ha K a 
után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre
azaz | x2 - dy2 | értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt
másrészt x≡X mod L és y≡Y mod L. Ekkor
és itt a jobboldali számok, tehát xX+dyY és yX-Yx oszthatók L-lel, tehát Lu és Lv alakúak, végigosztva u2 - dv2 = 1 adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0 azaz x/z=X/Y teljesülne.
Based on work by