Poisson-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A valószínűség-számításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát (például: egy telefonközpontba adott időszakban és időtartamban beérkezett telefonhívások száma, vagy egy radioaktív anyag adott idő alatt elbomló atomjainak száma).

Nevét Siméon-Denis Poissonról kapta, aki felfedezte, és valószínűség-számítási munkájában (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile) publikálta.

Tartalomjegyzék

1 Definíció
2 A Poisson-eloszlást jellemző függvények
3 A Poisson-eloszlást jellemző számok
4 Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága
5 Forrás

[szerkesztés] Definíció

Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ - vagy rövidebben: Poisson-eloszlású - pontosan akkor, ha

$\bold P (X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} , \quad k=0, 1, 2, ... \quad$

ahol 0 < λ konstans.

[szerkesztés] A Poisson-eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t) = e^{\lambda e^{it}-1} =\exp [\lambda (\exp (it)-1)]$

Generátorfüggvénye

$G(z) = e^{\lambda e^{z}-1} =\exp [\lambda (\exp (z)-1)] \,$

[szerkesztés] A Poisson-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\bold E (X)=\lambda$ .

Szórása

$\bold D (X)=\sqrt \lambda$ .

Momentumai

Harmad és negyedrendű centrált momentumai

$\bold E [(X -\bold E(X))^3] = \lambda$

$\bold E [(X -\bold E(X))^4] = \lambda + 3 \lambda ^2$

Ferdesége

$\beta_1(X) = \lambda ^{-1/2} \,$

Lapultsága

$\beta_2(X) = \lambda ^{-1} \,$

[szerkesztés] Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

Poisson-eloszlású független valószínűségi változók összege is Poisson-eloszlású. Pontosabban ha X₁ és X₂ független Poisson-eloszlású valószínűségi változók λ₁ és λ₂ paraméterekkel, akkor X₁ + X₂ is Poisson-eloszlású λ₁ + λ₂ paraméterrel. Ugyanekkor X₁ feltételes eloszlása X₁ + X₂ = n -re vonatkozóan n és λ₁/(λ₁ + λ₂) paraméterű binomiális eloszlást követ.

Az összegzésre vonatkozó összefüggés fordítottja is igaz. Pontosabban ha X₁ + X₂ is Poisson-eloszlású valamint tudjuk, hogy X₁ és X₂ független valószínűségi változók, akkor X₁ és X₂ is Poisson-eloszlású.

Ha binomiális eloszlások olyan sorozatát vesszük, melyben az eloszlások n paramétere úgy tart a végtelenbe, hogy hogy közben az np szorzat konstans marad (p így nyilván a 0-hoz tart), akkor határeloszlásként Poisson-eloszlást kapunk.