Welch-próba

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Welch-próba vagy más néven d-próba a statisztikai hipotézisvizsgálatok közül a paraméteres próbák közé tartozik. A próba azt vizsgálja, hogy két külön mintában egy-egy valószínűségi változó átlagai egymástól szignifikánsan különböznek-e.

Tartalomjegyzék

1 A próba alkalmazásának feltételei
2 A próba nullhipotézise
3 A próbastatisztika
4 A próba végrehajtásának lépései
5 Példa
6 A próba matematikai háttere
7 Megjegyzések
8 Források

[szerkesztés] A próba alkalmazásának feltételei

a vizsgált valószínűségi változók normális eloszlásúak
a vizsgált valószínűségi változók intervallum vagy arányskálán mértek
a vizsgált valószínűségi változók függetlenek

[szerkesztés] A próba nullhipotézise

Nullhipotézis: a két mintában a két átlag statisztikai szempontból megegyezik.

Alternatív hipotézis: a két mintában a két átlag statisztikai szempontból nem egyezik meg.

A "statisztikai szempontból" kifejezés itt arra utal, hogy az eltérés a két átlag között olyan minimális, hogy pusztán csak a véletlen ingadozásnak tulajdonítható (ekkor a két átlag statisztikai szempontból azonosnak tekinthető), vagy jelentősen nagyobb, mint ami a véletlennel magyarázható (ekkor a két átlag statisztikai szempontból nem tekinthető azonosnak).

Valójában a fenti két hipotézis precíz matematikai megfogalmazása a következő.

H₀: Az X és Y valószínűségi változók várható értékei megegyeznek, (E(X) = E(Y)).
H₁: Az X és Y valószínűségi változók várható értékei nem egyeznek meg, (E(X) ≠ E(Y)).

[szerkesztés] A próbastatisztika

A Welch-próba próbastatisztikája

$t = \frac {\overline x- \overline y} {\sqrt { \frac{s_x^2}{n} + \frac{s_y^2}{m} } }$

ahol

$\overline x$ az egyik valószínűségi változó átlaga a mintájában,
$\overline y$ a másik valószínűségi változó átlaga a mintájában,
s_x az egyik valószínűségi változó becsült szórása,
s_y a másik valószínűségi változó becsült szórása,
n az egyik minta elemszáma,
m a másik minta elemszáma.

[szerkesztés] A próba végrehajtásának lépései

Az t próbastatisztika értékének kiszámítása.
A p szignifikancia szint megválasztása. (Ez a legtöbb vizsgálat esetén 0,05 vagy 0,01.)
A p szignifikancia szinttől függő t_p érték kiválasztása a próbának megfelelő táblázatból. A táblázat jelen esetben a t-eloszlás táblázata, mely eloszlásra szoktak úgy is utalni, mint Student-eloszlás, illetve Student-féle t-eloszlás. A táblázat kétdimenziós, a p szignifikancia szint és az f szabadsági fok ismeretében azonnal megkapjuk a táblázatbeli t_p értéket. Az f szabadsági fok a Welch-próba esetén az $\frac{1}{f}= \frac{1}{n-1} \left( \frac {\frac{s_x^2}{n}} {\frac{s_x^2}{n}+ \frac{s_y^2}{m}} \right) ^2 + \frac{1}{m-1} \left( \frac {\frac{s_y^2}{m}} {\frac{s_x^2}{n}+ \frac{s_y^2}{m}} \right) ^2$ összefüggés alapján a jobb oldal reciprokaként adódik. (Mivel ezt láthatóan meglehetősen bonyolult számolni, a gyakrolatban helyette sokszor egy - a Megjegyzésekben bemutatott - egyszerűsítéssel élnek.)
A nullhipotézisre vonatkozó döntés meghozása.
- Ha |t| ≥ t_p, akkor a nullhipotézist elvetjük, az alternatív hipotézist tartjuk meg, és az eredményt úgy interpretáljuk, hogy
  a két mintában a valószínűségi változók átlagai szignifikánsan eltérnek egymástól (p szignifikancai szint mellett).
- Ha |t| < t_p, akkor a nullhipotézist megtartjuk, amit úgy interpretálunk, hogy
  a Welch-próba nem mutat ki szignifikáns különbséget a két mintában a valószínűségi változók átlagai között (p szignifikancai szint mellett).

[szerkesztés] Példa

[szerkesztés] A próba matematikai háttere

A próba matematikai hátterének legfontosabb gondolata, hogy bármely X és Y független, normális eloszlású valószínűségi változóra vett X₁, X₂, ... X_n illetve Y₁, Y₂, ... X_m minták esetén az

$\overline X= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i, \qquad \overline Y= \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} X_,$

valamint az

$s_X= \sqrt { \frac {\sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2} {n} }, \qquad s_Y= \sqrt { \frac {\sum_{i=1}^m (Y_i-\overline Y)^2} {m} }$

jelölésekkel élve megmutatható, hogy a

$t = \frac {\overline X- \overline Y} {\sqrt { \frac{s_X}{n} + \frac{s_Y}{m} } }$

valószínűségi változó asszimptotikusan t-eloszlást követ a fenti képlet alapján számítható f szabadsági fokkal.

Emiatt az f szabadsági fokú t-eloszlás ismeretében bármilyen 1 > p > 0 esetén meg lehet határozni azt az t_p értéket, melyre teljesül hogy ha igaz a nullhipotézis, akkor a t próbastatisztika értéke 1-p valószínűséggel jó közelítéssel a (-t_p, t_p) intervallumba esik.

[szerkesztés] Megjegyzések

Az f szabadsági fokot az

$\frac{1}{f}= \frac{1}{n-1} \left( \frac {\frac{s_x^2}{n}} {\frac{s_x^2}{n}+ \frac{s_y^2}{m}} \right) ^2 + \frac{1}{m-1} \left( \frac {\frac{s_y^2}{m}} {\frac{s_x^2}{n}+ \frac{s_y^2}{m}} \right) ^2$

képlet alapján számítani igen bonyolult. Megmutatható azonban, hogy - az f_min = min {n - 1; m - 1} és f_max = n + m + 2 jelölésekkel élve - teljesül, az f_min ≤ f ≤ f_max összefüggés, vagyis az f értéke két nagyon könnyen számítható korlát közé szorítható. Ennek felhasználásával az f fáradtságos kiszámítása sokszor elkerülhető.

Mivel fix p mellett a t-eloszlás táblázatának értékei f növelésével nőnek biztos, hogy t_min ≤ t _p ≤ t_max, ahol t_min, t _p és t_max rendre a p szignifikancia szinthez és f_min, f és f_max szabadsági fokhoz tartozó t-eloszlás táblázatában található értékek. Így |t| ≥ t_max esetén biztos, hogy |t| ≥ t_p is teljesül, vagyis a nullhipotézis elvetéséhez elegendő, hogy |t| ≥ t_max teljesüljön. Hasonlóan |t| < t_min esetén biztos, hogy |t| < t_p is teljesül, s így a nullhipotézis megtartásához |t| < t_min is elegendő.

Egy másik lehetőség az f fáradságos kiszámításának megkerülésére annak a felhasználása, hogy ha m és n elég nagy (általában az m > 40, n > 40 feltételt szokták megadni), akkor a t-táblázat helyett lehet a standard normális eloszlás táblázatát használni ugyanúgy, mint például az egymintás u-próba (vagy egyébként bármely u-próba) esetén. Ezt azért lehet megtenni, mert ilyen magas n és m értékek mellett a t-eloszlás nagyon közel van a normális eloszláshoz (a t-eloszlás a szabadsági fok növelésével asszimptotikusan normális eloszlású).

A Welch-próba bizonyos tekintetben az kétmintás u-próba párja. A kétmintás u-próba ugyanezt a nullhipotézist vizsgálja, csak feltétele az szórások értékének előzetes ismerete is, s nem a minták adatai alapján becsli azokat. A próbastatisztika képlete is nagyon hasonló, csak benne az becsült s_x és s_y szórások helyett az eleve ismert σ_x és σ_y szórások szórások szerepelnek. A két próba matematikai háttere is nagyon hasonló.

Szintén szoros a kapcsolat a Welch-próba és a kétmintás t-próba között. Ez a két próba is ugyanazt a nullhipotézist teszteli, ugyanolyan adottságok mellett, csak a kétmintás t-próba feltételezi, hogy a két valószínűségi változó szórásai megegyeznek, míg a Welch-próbához nincs szükségünk ilyen feltételezésre. Ennek a két próbának a képlete viszont jelentősen különbözik egymástól.

A szakirodalom nem teljesen egységes annak tekintetében, hogy a nullhipotézis elvetéséről vagy megtartásáról szóló döntésben az |t| és t_p közötti két egyenlőtlenség közül melyiknél engedi meg az egyenlőséget. Ennek gyakorlati jelentősége nem igazán van, az alkalmazások során nagyon ritkán adódik, hogy a kiszámított próbastatisztika pontosan egybeesen a táblázatbeli értékkel. Ha esetleg mégis így alakul, akkor az eredmény úgy interpretálható, hogy a nullhipotézis elvetése esetén a kockázat pontosan megegyezik a szignifikancia szinttel, s innen a kutató (és a tudós társadalom) szája ízétől függ, hogy ebben inkább a nullhipotézis elvetésének, vagy inkább a nullhipotézis megtartásának zálogát látja.

Érdemes megfigyelni az óvatos fogalmazást a nullhipotézis megtartása esetén. Az általunk meghatározott p szignifikancia szint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét adja meg. Ha el tudom vetni a nullhipotézist, ekkora kockázatot vállalok arra nézve, hogy esetleg hiba elvetni. Amennyiben viszont nem tudom elvetni a nullhipotézis, akkor elsőfajú hibát biztosan nem fogok elkövetni, ám elkövethetek másodfajú hibát, melynek kockázatáról semmit nem mond a próba. Ez indokolja, hogy ha a nullhipotézist megtartjuk, akkor nem azt mondjuk, hogy nincs szignifikáns különbség a minta átlaga és az előre megadott m érték között, hanem hogy a Welch-próba nem tudott szignifikáns különbséget kimutatni (ami ettől még lehet, hogy van).

[szerkesztés] Források

Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
Michaletzky Gy. - Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
Michelberger P. - Szeidl L. - Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszchológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../w/e/l/Welch-pr%C3%B3ba.html"

Kategória: Statisztika