Cerchio di Apollonio

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Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

[modifica] Equazione cartesiana

Fissiamo due punti $A$ e $B$ , in modo che $A$ concida con l'origine degli assi e $B$ sia posto a distanza $d$ da esso. Un generico punto $P$ del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

$\frac{AP}{BP} = k$ ,

dove $k$ è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{\left ( x - d \right )^2 + y^2}} = k$ ,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

$x^2 + y^2 = k^2 \left ( x - d \right )^2 + k^2y^2$ .

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

$x^2 + y^2 - \frac{2k^2d}{\left ( k^2 - 1 \right)} x + \frac{k^2d^2}{\left ( k^2 - 1 \right)} = 0$ .

[modifica] Proprietà

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

il centro del cerchio è posto in $C \left ( \frac{k^2}{k^2 - 1} d, 0 \right )$ , e si trova sempre sul prolungamento del segmento $A B$ ;
il raggio del cerchio vale $\frac{kd}{k^2 - 1}$ ;
per $k = 1$ il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento $A B$ ; per $k > 1$ il cerchio contiene il punto $B$ ; per $0 < k < 1$ il cerchio contiene il punto $A$ ;
quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento $A B$ .